Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49037 / 81204
↖ ↑ ↗
← S 39.478605°
W 45.315857°		 ← 235.75 m → S 39.478605°
W 45.313110°		 →
↑
235.73 m
↓
↑
235.73 m
↓
S 39.480725°
W 45.315857°		 ← 235.74 m →
55 571 m²		 S 39.480725°
W 45.313110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374126434326172 y=0.619541168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374126434326172 × 217)
    floor (0.374126434326172 × 131072)
    floor (49037.5)     		tx = 49037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619541168212891 × 217)
    floor (0.619541168212891 × 131072)
    floor (81204.5)     		ty = 81204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49037 / 81204 ti = "17/49037/81204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49037/81204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49037 ÷ 217
    49037 ÷ 131072     		x = 0.374122619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81204 ÷ 217
    81204 ÷ 131072     		y = 0.619537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374122619628906 × 2 - 1) × π
    -0.251754760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.79091091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.23907470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.75107534324704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79091091} λ = -0.79091091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75107534324704))-π/2
    2×atan(0.471858869574152)-π/2
    2×0.440882337768803-π/2
    0.881764675537607-1.57079632675     		φ = -0.68903165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79091091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.315857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68903165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.478605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49037 KachelY 81204 -0.79091091 -0.68903165 -45.315857 -39.478605
    Oben rechts KachelX + 1 49038 KachelY 81204 -0.79086297 -0.68903165 -45.313110 -39.478605
    Unten links KachelX 49037 KachelY + 1 81205 -0.79091091 -0.68906865 -45.315857 -39.480725
    Unten rechts KachelX + 1 49038 KachelY + 1 81205 -0.79086297 -0.68906865 -45.313110 -39.480725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68903165--0.68906865) × R
    3.69999999999537e-05 × 6371000     		dl = 235.726999999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68903165--0.68906865) × R
    3.69999999999537e-05 × 6371000     		dr = 235.726999999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79091091--0.79086297) × cos(-0.68903165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771862044081849 × 6371000     		do = 235.746535991457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79091091--0.79086297) × cos(-0.68906865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771838519321746 × 6371000     		du = 235.739350924194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68903165)-sin(-0.68906865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771862044081849-0.771838519321746)×R²
    abs(-0.79086297--0.79091091)×2.35247601034771e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35247601034771e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35247601034771e-05×40589641000000     		ar = 55570.9768386843m²