Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49037 / 50565
↖ ↑ ↗
← S 69.420899°
E 89.368286°		 ← 214.69 m → S 69.420899°
E 89.373779°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 69.422829°
E 89.368286°		 ← 214.67 m →
46 093 m²		 S 69.422829°
E 89.373779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748252868652344 y=0.771568298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748252868652344 × 216)
    floor (0.748252868652344 × 65536)
    floor (49037.5)     		tx = 49037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771568298339844 × 216)
    floor (0.771568298339844 × 65536)
    floor (50565.5)     		ty = 50565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49037 / 50565 ti = "16/49037/50565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49037/50565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49037 ÷ 216
    49037 ÷ 65536     		x = 0.748245239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50565 ÷ 216
    50565 ÷ 65536     		y = 0.771560668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748245239257812 × 2 - 1) × π
    0.496490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55977084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771560668945312 × 2 - 1) × π
    -0.543121337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70626600507628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55977084} λ = 1.55977084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70626600507628))-π/2
    2×atan(0.181542407019848)-π/2
    2×0.179586536836622-π/2
    0.359173073673244-1.57079632675     		φ = -1.21162325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55977084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.368286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21162325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.420899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49037 KachelY 50565 1.55977084 -1.21162325 89.368286 -69.420899
    Oben rechts KachelX + 1 49038 KachelY 50565 1.55986671 -1.21162325 89.373779 -69.420899
    Unten links KachelX 49037 KachelY + 1 50566 1.55977084 -1.21165695 89.368286 -69.422829
    Unten rechts KachelX + 1 49038 KachelY + 1 50566 1.55986671 -1.21165695 89.373779 -69.422829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21162325--1.21165695) × R
    3.37000000001364e-05 × 6371000     		dl = 214.702700000869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21162325--1.21165695) × R
    3.37000000001364e-05 × 6371000     		dr = 214.702700000869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55977084-1.55986671) × cos(-1.21162325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351500198119305 × 6371000     		do = 214.692022163844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55977084-1.55986671) × cos(-1.21165695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351468648390604 × 6371000     		du = 214.672751975407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21162325)-sin(-1.21165695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351500198119305-0.351468648390604)×R²
    abs(1.55986671-1.55977084)×3.15497287011191e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15497287011191e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15497287011191e-05×40589641000000     		ar = 46092.8881510136m²