Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49036 / 82364
↖ ↑ ↗
← S 41.894099°
W 45.318603°		 ← 227.31 m → S 41.894099°
W 45.315857°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 41.896144°
W 45.318603°		 ← 227.30 m →
51 684 m²		 S 41.896144°
W 45.315857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374118804931641 y=0.628391265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374118804931641 × 217)
    floor (0.374118804931641 × 131072)
    floor (49036.5)     		tx = 49036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628391265869141 × 217)
    floor (0.628391265869141 × 131072)
    floor (82364.5)     		ty = 82364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49036 / 82364 ti = "17/49036/82364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49036/82364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49036 ÷ 217
    49036 ÷ 131072     		x = 0.374114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82364 ÷ 217
    82364 ÷ 131072     		y = 0.628387451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.25177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79095884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628387451171875 × 2 - 1) × π
    -0.25677490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.806682146806305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79095884} λ = -0.79095884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806682146806305))-π/2
    2×atan(0.446336491221024)-π/2
    2×0.419803176182335-π/2
    0.83960635236467-1.57079632675     		φ = -0.73118997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79095884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.318603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73118997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.894099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49036 KachelY 82364 -0.79095884 -0.73118997 -45.318603 -41.894099
    Oben rechts KachelX + 1 49037 KachelY 82364 -0.79091091 -0.73118997 -45.315857 -41.894099
    Unten links KachelX 49036 KachelY + 1 82365 -0.79095884 -0.73122566 -45.318603 -41.896144
    Unten rechts KachelX + 1 49037 KachelY + 1 82365 -0.79091091 -0.73122566 -45.315857 -41.896144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73118997--0.73122566) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dl = 227.380990000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73118997--0.73122566) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dr = 227.380990000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79095884--0.79091091) × cos(-0.73118997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744380320078517 × 6371000     		do = 227.305485631365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79095884--0.79091091) × cos(-0.73122566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744356487396442 × 6371000     		du = 227.298208035186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73118997)-sin(-0.73122566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744380320078517-0.744356487396442)×R²
    abs(-0.79091091--0.79095884)×2.38326820752865e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38326820752865e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38326820752865e-05×40589641000000     		ar = 51684.1189672738m²