Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49036 / 82322
↖ ↑ ↗
← S 41.808173°
W 45.318603°		 ← 227.61 m → S 41.808173°
W 45.315857°		 →
↑
227.64 m
↓
↑
227.64 m
↓
S 41.810220°
W 45.318603°		 ← 227.60 m →
51 812 m²		 S 41.810220°
W 45.315857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374118804931641 y=0.628070831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374118804931641 × 217)
    floor (0.374118804931641 × 131072)
    floor (49036.5)     		tx = 49036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628070831298828 × 217)
    floor (0.628070831298828 × 131072)
    floor (82322.5)     		ty = 82322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49036 / 82322 ti = "17/49036/82322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49036/82322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49036 ÷ 217
    49036 ÷ 131072     		x = 0.374114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82322 ÷ 217
    82322 ÷ 131072     		y = 0.628067016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.25177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79095884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628067016601562 × 2 - 1) × π
    -0.256134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.804668797022263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79095884} λ = -0.79095884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804668797022263))-π/2
    2×atan(0.447236027936398)-π/2
    2×0.420553028824717-π/2
    0.841106057649434-1.57079632675     		φ = -0.72969027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79095884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.318603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72969027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.808173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49036 KachelY 82322 -0.79095884 -0.72969027 -45.318603 -41.808173
    Oben rechts KachelX + 1 49037 KachelY 82322 -0.79091091 -0.72969027 -45.315857 -41.808173
    Unten links KachelX 49036 KachelY + 1 82323 -0.79095884 -0.72972600 -45.318603 -41.810220
    Unten rechts KachelX + 1 49037 KachelY + 1 82323 -0.79091091 -0.72972600 -45.315857 -41.810220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72969027--0.72972600) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dl = 227.635830000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72969027--0.72972600) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dr = 227.635830000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79095884--0.79091091) × cos(-0.72969027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.745380916130332 × 6371000     		do = 227.611029672957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79095884--0.79091091) × cos(-0.72972600) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.745357096650219 × 6371000     		du = 227.603756108156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72969027)-sin(-0.72972600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745380916130332-0.745357096650219)×R²
    abs(-0.79091091--0.79095884)×2.38194801133185e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38194801133185e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38194801133185e-05×40589641000000     		ar = 51811.5978003365m²