Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49036 / 50564
↖ ↑ ↗
← S 69.418968°
E 89.362793°		 ← 214.71 m → S 69.418968°
E 89.368286°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 69.420899°
E 89.362793°		 ← 214.69 m →
46 097 m²		 S 69.420899°
E 89.368286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748237609863281 y=0.771553039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748237609863281 × 216)
    floor (0.748237609863281 × 65536)
    floor (49036.5)     		tx = 49036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771553039550781 × 216)
    floor (0.771553039550781 × 65536)
    floor (50564.5)     		ty = 50564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49036 / 50564 ti = "16/49036/50564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49036/50564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49036 ÷ 216
    49036 ÷ 65536     		x = 0.74822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50564 ÷ 216
    50564 ÷ 65536     		y = 0.77154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74822998046875 × 2 - 1) × π
    0.4964599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55967497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77154541015625 × 2 - 1) × π
    -0.5430908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70617013127704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55967497} λ = 1.55967497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70617013127704))-π/2
    2×atan(0.181559813014509)-π/2
    2×0.179603387422401-π/2
    0.359206774844801-1.57079632675     		φ = -1.21158955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55967497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21158955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.418968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49036 KachelY 50564 1.55967497 -1.21158955 89.362793 -69.418968
    Oben rechts KachelX + 1 49037 KachelY 50564 1.55977084 -1.21158955 89.368286 -69.418968
    Unten links KachelX 49036 KachelY + 1 50565 1.55967497 -1.21162325 89.362793 -69.420899
    Unten rechts KachelX + 1 49037 KachelY + 1 50565 1.55977084 -1.21162325 89.368286 -69.420899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21158955--1.21162325) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dl = 214.702699999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21158955--1.21162325) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dr = 214.702699999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55967497-1.55977084) × cos(-1.21158955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351531747448811 × 6371000     		do = 214.711292108458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55967497-1.55977084) × cos(-1.21162325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351500198119305 × 6371000     		du = 214.692022163844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21158955)-sin(-1.21162325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351531747448811-0.351500198119305)×R²
    abs(1.55977084-1.55967497)×3.15493295056646e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15493295056646e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15493295056646e-05×40589641000000     		ar = 46097.0254856508m²