Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49035 / 82013
↖ ↑ ↗
← S 41.172452°
W 45.321350°		 ← 229.90 m → S 41.172452°
W 45.318603°		 →
↑
229.87 m
↓
↑
229.87 m
↓
S 41.174519°
W 45.321350°		 ← 229.90 m →
52 846 m²		 S 41.174519°
W 45.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374111175537109 y=0.625713348388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374111175537109 × 217)
    floor (0.374111175537109 × 131072)
    floor (49035.5)     		tx = 49035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625713348388672 × 217)
    floor (0.625713348388672 × 131072)
    floor (82013.5)     		ty = 82013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49035 / 82013 ti = "17/49035/82013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49035/82013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49035 ÷ 217
    49035 ÷ 131072     		x = 0.374107360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82013 ÷ 217
    82013 ÷ 131072     		y = 0.625709533691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374107360839844 × 2 - 1) × π
    -0.251785278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.79100678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625709533691406 × 2 - 1) × π
    -0.251419067382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.789856295039665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79100678} λ = -0.79100678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789856295039665))-π/2
    2×atan(0.453910019717085)-π/2
    2×0.426100739588614-π/2
    0.852201479177227-1.57079632675     		φ = -0.71859485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79100678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.321350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71859485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.172452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49035 KachelY 82013 -0.79100678 -0.71859485 -45.321350 -41.172452
    Oben rechts KachelX + 1 49036 KachelY 82013 -0.79095884 -0.71859485 -45.318603 -41.172452
    Unten links KachelX 49035 KachelY + 1 82014 -0.79100678 -0.71863093 -45.321350 -41.174519
    Unten rechts KachelX + 1 49036 KachelY + 1 82014 -0.79095884 -0.71863093 -45.318603 -41.174519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71859485--0.71863093) × R
    3.60799999999939e-05 × 6371000     		dl = 229.865679999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71859485--0.71863093) × R
    3.60799999999939e-05 × 6371000     		dr = 229.865679999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79100678--0.79095884) × cos(-0.71859485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752731521007835 × 6371000     		do = 229.903581824993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79100678--0.79095884) × cos(-0.71863093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752707768057315 × 6371000     		du = 229.896327062503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71859485)-sin(-0.71863093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752731521007835-0.752707768057315)×R²
    abs(-0.79095884--0.79100678)×2.37529505202616e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37529505202616e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37529505202616e-05×40589641000000     		ar = 52846.1093657637m²