Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49034 / 81798
↖ ↑ ↗
← S 40.726446°
W 45.324097°		 ← 231.46 m → S 40.726446°
W 45.321350°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
S 40.728527°
W 45.324097°		 ← 231.45 m →
53 573 m²		 S 40.728527°
W 45.321350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374103546142578 y=0.624073028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374103546142578 × 217)
    floor (0.374103546142578 × 131072)
    floor (49034.5)     		tx = 49034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624073028564453 × 217)
    floor (0.624073028564453 × 131072)
    floor (81798.5)     		ty = 81798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49034 / 81798 ti = "17/49034/81798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49034/81798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49034 ÷ 217
    49034 ÷ 131072     		x = 0.374099731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81798 ÷ 217
    81798 ÷ 131072     		y = 0.624069213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374099731445312 × 2 - 1) × π
    -0.251800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79105472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624069213867188 × 2 - 1) × π
    -0.248138427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.779549861621353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79105472} λ = -0.79105472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779549861621353))-π/2
    2×atan(0.458612403893042)-π/2
    2×0.429992878307925-π/2
    0.85998575661585-1.57079632675     		φ = -0.71081057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79105472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.324097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71081057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.726446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49034 KachelY 81798 -0.79105472 -0.71081057 -45.324097 -40.726446
    Oben rechts KachelX + 1 49035 KachelY 81798 -0.79100678 -0.71081057 -45.321350 -40.726446
    Unten links KachelX 49034 KachelY + 1 81799 -0.79105472 -0.71084690 -45.324097 -40.728527
    Unten rechts KachelX + 1 49035 KachelY + 1 81799 -0.79100678 -0.71084690 -45.321350 -40.728527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71081057--0.71084690) × R
    3.63299999999178e-05 × 6371000     		dl = 231.458429999476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71081057--0.71084690) × R
    3.63299999999178e-05 × 6371000     		dr = 231.458429999476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79105472--0.79100678) × cos(-0.71081057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75783327001773 × 6371000     		do = 231.461787291633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79105472--0.79100678) × cos(-0.71084690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757809566072249 × 6371000     		du = 231.454547496544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71081057)-sin(-0.71084690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75783327001773-0.757809566072249)×R²
    abs(-0.79100678--0.79105472)×2.37039454809018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37039454809018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37039454809018e-05×40589641000000     		ar = 53572.9440415016m²