Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49031 / 82021
↖ ↑ ↗
← S 41.188989°
W 45.332337°		 ← 229.85 m → S 41.188989°
W 45.329590°		 →
↑
229.80 m
↓
↑
229.80 m
↓
S 41.191056°
W 45.332337°		 ← 229.84 m →
52 818 m²		 S 41.191056°
W 45.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374080657958984 y=0.625774383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374080657958984 × 217)
    floor (0.374080657958984 × 131072)
    floor (49031.5)     		tx = 49031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625774383544922 × 217)
    floor (0.625774383544922 × 131072)
    floor (82021.5)     		ty = 82021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49031 / 82021 ti = "17/49031/82021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49031/82021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49031 ÷ 217
    49031 ÷ 131072     		x = 0.374076843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82021 ÷ 217
    82021 ÷ 131072     		y = 0.625770568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374076843261719 × 2 - 1) × π
    -0.251846313476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.79119853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625770568847656 × 2 - 1) × π
    -0.251541137695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.790239790236626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79119853} λ = -0.79119853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790239790236626))-π/2
    2×atan(0.453735980778353)-π/2
    2×0.425956423347065-π/2
    0.851912846694129-1.57079632675     		φ = -0.71888348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79119853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.332337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71888348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.188989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49031 KachelY 82021 -0.79119853 -0.71888348 -45.332337 -41.188989
    Oben rechts KachelX + 1 49032 KachelY 82021 -0.79115059 -0.71888348 -45.329590 -41.188989
    Unten links KachelX 49031 KachelY + 1 82022 -0.79119853 -0.71891955 -45.332337 -41.191056
    Unten rechts KachelX + 1 49032 KachelY + 1 82022 -0.79115059 -0.71891955 -45.329590 -41.191056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71888348--0.71891955) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dl = 229.801969999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71888348--0.71891955) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dr = 229.801969999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79119853--0.79115059) × cos(-0.71888348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752541476555062 × 6371000     		do = 229.845537357372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79119853--0.79115059) × cos(-0.71891955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752517722352602 × 6371000     		du = 229.838282212507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71888348)-sin(-0.71891955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752541476555062-0.752517722352602)×R²
    abs(-0.79115059--0.79119853)×2.37542024602577e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37542024602577e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37542024602577e-05×40589641000000     		ar = 52818.1236628284m²