Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49031 / 82014
↖ ↑ ↗
← S 41.174519°
W 45.332337°		 ← 229.90 m → S 41.174519°
W 45.329590°		 →
↑
229.87 m
↓
↑
229.87 m
↓
S 41.176587°
W 45.332337°		 ← 229.89 m →
52 844 m²		 S 41.176587°
W 45.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374080657958984 y=0.625720977783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374080657958984 × 217)
    floor (0.374080657958984 × 131072)
    floor (49031.5)     		tx = 49031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625720977783203 × 217)
    floor (0.625720977783203 × 131072)
    floor (82014.5)     		ty = 82014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49031 / 82014 ti = "17/49031/82014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49031/82014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49031 ÷ 217
    49031 ÷ 131072     		x = 0.374076843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82014 ÷ 217
    82014 ÷ 131072     		y = 0.625717163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374076843261719 × 2 - 1) × π
    -0.251846313476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.79119853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625717163085938 × 2 - 1) × π
    -0.251434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.789904231939285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79119853} λ = -0.79119853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789904231939285))-π/2
    2×atan(0.453888261199556)-π/2
    2×0.426082698065579-π/2
    0.852165396131157-1.57079632675     		φ = -0.71863093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79119853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.332337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71863093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.174519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49031 KachelY 82014 -0.79119853 -0.71863093 -45.332337 -41.174519
    Oben rechts KachelX + 1 49032 KachelY 82014 -0.79115059 -0.71863093 -45.329590 -41.174519
    Unten links KachelX 49031 KachelY + 1 82015 -0.79119853 -0.71866701 -45.332337 -41.176587
    Unten rechts KachelX + 1 49032 KachelY + 1 82015 -0.79115059 -0.71866701 -45.329590 -41.176587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71863093--0.71866701) × R
    3.60799999999939e-05 × 6371000     		dl = 229.865679999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71863093--0.71866701) × R
    3.60799999999939e-05 × 6371000     		dr = 229.865679999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79119853--0.79115059) × cos(-0.71863093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752707768057315 × 6371000     		do = 229.896327062503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79119853--0.79115059) × cos(-0.71866701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752684014126945 × 6371000     		du = 229.889072000742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71863093)-sin(-0.71866701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752707768057315-0.752684014126945)×R²
    abs(-0.79115059--0.79119853)×2.37539303700185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37539303700185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37539303700185e-05×40589641000000     		ar = 52844.4417106959m²