Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49031 / 81799
↖ ↑ ↗
← S 40.728527°
W 45.332337°		 ← 231.45 m → S 40.728527°
W 45.329590°		 →
↑
231.39 m
↓
↑
231.39 m
↓
S 40.730608°
W 45.332337°		 ← 231.45 m →
53 557 m²		 S 40.730608°
W 45.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374080657958984 y=0.624080657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374080657958984 × 217)
    floor (0.374080657958984 × 131072)
    floor (49031.5)     		tx = 49031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624080657958984 × 217)
    floor (0.624080657958984 × 131072)
    floor (81799.5)     		ty = 81799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49031 / 81799 ti = "17/49031/81799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49031/81799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49031 ÷ 217
    49031 ÷ 131072     		x = 0.374076843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81799 ÷ 217
    81799 ÷ 131072     		y = 0.624076843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374076843261719 × 2 - 1) × π
    -0.251846313476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.79119853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624076843261719 × 2 - 1) × π
    -0.248153686523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.779597798520973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79119853} λ = -0.79119853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779597798520973))-π/2
    2×atan(0.458590419963197)-π/2
    2×0.429974714503285-π/2
    0.85994942900657-1.57079632675     		φ = -0.71084690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79119853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.332337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71084690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.728527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49031 KachelY 81799 -0.79119853 -0.71084690 -45.332337 -40.728527
    Oben rechts KachelX + 1 49032 KachelY 81799 -0.79115059 -0.71084690 -45.329590 -40.728527
    Unten links KachelX 49031 KachelY + 1 81800 -0.79119853 -0.71088322 -45.332337 -40.730608
    Unten rechts KachelX + 1 49032 KachelY + 1 81800 -0.79115059 -0.71088322 -45.329590 -40.730608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71084690--0.71088322) × R
    3.63200000000896e-05 × 6371000     		dl = 231.394720000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71084690--0.71088322) × R
    3.63200000000896e-05 × 6371000     		dr = 231.394720000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79119853--0.79115059) × cos(-0.71084690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757809566072249 × 6371000     		do = 231.454547496544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79119853--0.79115059) × cos(-0.71088322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757785867651592 × 6371000     		du = 231.447309388878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71084690)-sin(-0.71088322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757809566072249-0.757785867651592)×R²
    abs(-0.79115059--0.79119853)×2.36984206570812e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36984206570812e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36984206570812e-05×40589641000000     		ar = 53556.5227867788m²