Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4903 / 5287
↖ ↑ ↗
← S 46.286224°
E 35.463867°		 ← 3 376.84 m → S 46.286224°
E 35.507813°		 →
↑
3 375.87 m
↓
↑
3 375.87 m
↓
S 46.316584°
E 35.463867°		 ← 3 374.97 m →
11 396 603 m²		 S 46.316584°
E 35.507813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59857177734375 y=0.64544677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59857177734375 × 213)
    floor (0.59857177734375 × 8192)
    floor (4903.5)     		tx = 4903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64544677734375 × 213)
    floor (0.64544677734375 × 8192)
    floor (5287.5)     		ty = 5287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4903 / 5287 ti = "13/4903/5287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4903/5287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4903 ÷ 213
    4903 ÷ 8192     		x = 0.5985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5287 ÷ 213
    5287 ÷ 8192     		y = 0.6453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5985107421875 × 2 - 1) × π
    0.197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61896125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.91348555915979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61896125} λ = 0.61896125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91348555915979))-π/2
    2×atan(0.401123644357163)-π/2
    2×0.38147466056366-π/2
    0.762949321127319-1.57079632675     		φ = -0.80784701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61896125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80784701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.286224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4903 KachelY 5287 0.61896125 -0.80784701 35.463867 -46.286224
    Oben rechts KachelX + 1 4904 KachelY 5287 0.61972824 -0.80784701 35.507813 -46.286224
    Unten links KachelX 4903 KachelY + 1 5288 0.61896125 -0.80837689 35.463867 -46.316584
    Unten rechts KachelX + 1 4904 KachelY + 1 5288 0.61972824 -0.80837689 35.507813 -46.316584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80784701--0.80837689) × R
    0.000529879999999983 × 6371000     		dl = 3375.86547999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80784701--0.80837689) × R
    0.000529879999999983 × 6371000     		dr = 3375.86547999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61896125-0.61972824) × cos(-0.80784701) × R
    0.000766990000000023 × 0.691056216752417 × 6371000     		do = 3376.84156617357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61896125-0.61972824) × cos(-0.80837689) × R
    0.000766990000000023 × 0.690673121954347 × 6371000     		du = 3374.96957601337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80784701)-sin(-0.80837689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691056216752417-0.690673121954347)×R²
    abs(0.61972824-0.61896125)×0.000383094798070749×R²
    0.000766990000000023×0.000383094798070749×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383094798070749×40589641000000     		ar = 11396603.3478467m²