Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49024 / 50630
↖ ↑ ↗
← S 69.546038°
E 89.296875°		 ← 213.44 m → S 69.546038°
E 89.302368°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
S 69.547958°
E 89.296875°		 ← 213.42 m →
45 553 m²		 S 69.547958°
E 89.302368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748054504394531 y=0.772560119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748054504394531 × 216)
    floor (0.748054504394531 × 65536)
    floor (49024.5)     		tx = 49024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772560119628906 × 216)
    floor (0.772560119628906 × 65536)
    floor (50630.5)     		ty = 50630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49024 / 50630 ti = "16/49024/50630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49024/50630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49024 ÷ 216
    49024 ÷ 65536     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50630 ÷ 216
    50630 ÷ 65536     		y = 0.772552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.54510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71249780202689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71249780202689))-π/2
    2×atan(0.180414589416452)-π/2
    2×0.178494487464167-π/2
    0.356988974928334-1.57079632675     		φ = -1.21380735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21380735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.546038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49024 KachelY 50630 1.55852448 -1.21380735 89.296875 -69.546038
    Oben rechts KachelX + 1 49025 KachelY 50630 1.55862035 -1.21380735 89.302368 -69.546038
    Unten links KachelX 49024 KachelY + 1 50631 1.55852448 -1.21384085 89.296875 -69.547958
    Unten rechts KachelX + 1 49025 KachelY + 1 50631 1.55862035 -1.21384085 89.302368 -69.547958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21380735--1.21384085) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21380735--1.21384085) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.55862035) × cos(-1.21380735) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349454633575723 × 6371000     		do = 213.442616357878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.55862035) × cos(-1.21384085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349423245444579 × 6371000     		du = 213.423444871253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21380735)-sin(-1.21384085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349454633575723-0.349423245444579)×R²
    abs(1.55862035-1.55852448)×3.13881311436726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13881311436726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13881311436726e-05×40589641000000     		ar = 45552.6915791149m²