Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49022 / 82350
↖ ↑ ↗
← S 41.865470°
W 45.357056°		 ← 227.45 m → S 41.865470°
W 45.354309°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 41.867516°
W 45.357056°		 ← 227.45 m →
51 733 m²		 S 41.867516°
W 45.354309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374011993408203 y=0.628284454345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374011993408203 × 217)
    floor (0.374011993408203 × 131072)
    floor (49022.5)     		tx = 49022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628284454345703 × 217)
    floor (0.628284454345703 × 131072)
    floor (82350.5)     		ty = 82350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49022 / 82350 ti = "17/49022/82350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49022/82350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49022 ÷ 217
    49022 ÷ 131072     		x = 0.374008178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82350 ÷ 217
    82350 ÷ 131072     		y = 0.628280639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374008178710938 × 2 - 1) × π
    -0.251983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79162996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628280639648438 × 2 - 1) × π
    -0.256561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806011030211624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79162996} λ = -0.79162996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806011030211624))-π/2
    2×atan(0.446636135584)-π/2
    2×0.420053015141221-π/2
    0.840106030282441-1.57079632675     		φ = -0.73069030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79162996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73069030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.865470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49022 KachelY 82350 -0.79162996 -0.73069030 -45.357056 -41.865470
    Oben rechts KachelX + 1 49023 KachelY 82350 -0.79158202 -0.73069030 -45.354309 -41.865470
    Unten links KachelX 49022 KachelY + 1 82351 -0.79162996 -0.73072600 -45.357056 -41.867516
    Unten rechts KachelX + 1 49023 KachelY + 1 82351 -0.79158202 -0.73072600 -45.354309 -41.867516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73069030--0.73072600) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73069030--0.73072600) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79162996--0.79158202) × cos(-0.73069030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744713884729343 × 6371000     		do = 227.454789331585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79162996--0.79158202) × cos(-0.73072600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744690058650625 × 6371000     		du = 227.447512233861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73069030)-sin(-0.73072600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744713884729343-0.744690058650625)×R²
    abs(-0.79158202--0.79162996)×2.38260787178701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38260787178701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38260787178701e-05×40589641000000     		ar = 51732.5587599524m²