Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49022 / 81790
↖ ↑ ↗
← S 40.709792°
W 45.357056°		 ← 231.52 m → S 40.709792°
W 45.354309°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
S 40.711874°
W 45.357056°		 ← 231.51 m →
53 601 m²		 S 40.711874°
W 45.354309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374011993408203 y=0.624011993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374011993408203 × 217)
    floor (0.374011993408203 × 131072)
    floor (49022.5)     		tx = 49022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624011993408203 × 217)
    floor (0.624011993408203 × 131072)
    floor (81790.5)     		ty = 81790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49022 / 81790 ti = "17/49022/81790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49022/81790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49022 ÷ 217
    49022 ÷ 131072     		x = 0.374008178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81790 ÷ 217
    81790 ÷ 131072     		y = 0.624008178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374008178710938 × 2 - 1) × π
    -0.251983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79162996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624008178710938 × 2 - 1) × π
    -0.248016357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.779166366424393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79162996} λ = -0.79162996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779166366424393))-π/2
    2×atan(0.458788313275247)-π/2
    2×0.43013820919635-π/2
    0.8602764183927-1.57079632675     		φ = -0.71051991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79162996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71051991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.709792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49022 KachelY 81790 -0.79162996 -0.71051991 -45.357056 -40.709792
    Oben rechts KachelX + 1 49023 KachelY 81790 -0.79158202 -0.71051991 -45.354309 -40.709792
    Unten links KachelX 49022 KachelY + 1 81791 -0.79162996 -0.71055625 -45.357056 -40.711874
    Unten rechts KachelX + 1 49023 KachelY + 1 81791 -0.79158202 -0.71055625 -45.354309 -40.711874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71051991--0.71055625) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dl = 231.522139999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71051991--0.71055625) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dr = 231.522139999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79162996--0.79158202) × cos(-0.71051991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758022878614849 × 6371000     		do = 231.519698637719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79162996--0.79158202) × cos(-0.71055625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757999176150164 × 6371000     		du = 231.512459294902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71051991)-sin(-0.71055625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758022878614849-0.757999176150164)×R²
    abs(-0.79158202--0.79162996)×2.37024646848605e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37024646848605e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37024646848605e-05×40589641000000     		ar = 53601.0980525177m²