Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49021 / 82035
↖ ↑ ↗
← S 41.217920°
W 45.359802°		 ← 229.74 m → S 41.217920°
W 45.357056°		 →
↑
229.74 m
↓
↑
229.74 m
↓
S 41.219986°
W 45.359802°		 ← 229.74 m →
52 780 m²		 S 41.219986°
W 45.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374004364013672 y=0.625881195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374004364013672 × 217)
    floor (0.374004364013672 × 131072)
    floor (49021.5)     		tx = 49021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625881195068359 × 217)
    floor (0.625881195068359 × 131072)
    floor (82035.5)     		ty = 82035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49021 / 82035 ti = "17/49021/82035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49021/82035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49021 ÷ 217
    49021 ÷ 131072     		x = 0.374000549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82035 ÷ 217
    82035 ÷ 131072     		y = 0.625877380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374000549316406 × 2 - 1) × π
    -0.251998901367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.79167790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625877380371094 × 2 - 1) × π
    -0.251754760742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.790910906831306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79167790} λ = -0.79167790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790910906831306))-π/2
    2×atan(0.453431573189966)-π/2
    2×0.425703957615303-π/2
    0.851407915230605-1.57079632675     		φ = -0.71938841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79167790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.359802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71938841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.217920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49021 KachelY 82035 -0.79167790 -0.71938841 -45.359802 -41.217920
    Oben rechts KachelX + 1 49022 KachelY 82035 -0.79162996 -0.71938841 -45.357056 -41.217920
    Unten links KachelX 49021 KachelY + 1 82036 -0.79167790 -0.71942447 -45.359802 -41.219986
    Unten rechts KachelX + 1 49022 KachelY + 1 82036 -0.79162996 -0.71942447 -45.357056 -41.219986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71938841--0.71942447) × R
    3.60600000000044e-05 × 6371000     		dl = 229.738260000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71938841--0.71942447) × R
    3.60600000000044e-05 × 6371000     		dr = 229.738260000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79167790--0.79162996) × cos(-0.71938841) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.752208861583708 × 6371000     		do = 229.743948184143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79167790--0.79162996) × cos(-0.71942447) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.752185100268105 × 6371000     		du = 229.736690866741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71938841)-sin(-0.71942447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752208861583708-0.752185100268105)×R²
    abs(-0.79162996--0.79167790)×2.37613156027772e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37613156027772e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37613156027772e-05×40589641000000     		ar = 52780.1412653065m²