Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49021 / 51328
↖ ↑ ↗
← S 70.844672°
E 89.280396°		 ← 200.42 m → S 70.844672°
E 89.285889°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 70.846475°
E 89.280396°		 ← 200.40 m →
40 168 m²		 S 70.846475°
E 89.285889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748008728027344 y=0.783210754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748008728027344 × 216)
    floor (0.748008728027344 × 65536)
    floor (49021.5)     		tx = 49021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783210754394531 × 216)
    floor (0.783210754394531 × 65536)
    floor (51328.5)     		ty = 51328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49021 / 51328 ti = "16/49021/51328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49021/51328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49021 ÷ 216
    49021 ÷ 65536     		x = 0.748001098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51328 ÷ 216
    51328 ÷ 65536     		y = 0.783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748001098632812 × 2 - 1) × π
    0.496002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55823686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783203125 × 2 - 1) × π
    -0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55823686} λ = 1.55823686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77941771389648))-π/2
    2×atan(0.168736371512804)-π/2
    2×0.167161765923175-π/2
    0.33432353184635-1.57079632675     		φ = -1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55823686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.280396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49021 KachelY 51328 1.55823686 -1.23647279 89.280396 -70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 49022 KachelY 51328 1.55833273 -1.23647279 89.285889 -70.844672
    Unten links KachelX 49021 KachelY + 1 51329 1.55823686 -1.23650425 89.280396 -70.846475
    Unten rechts KachelX + 1 49022 KachelY + 1 51329 1.55833273 -1.23650425 89.285889 -70.846475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23647279--1.23650425) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23647279--1.23650425) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55823686-1.55833273) × cos(-1.23647279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 200.41793503957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55823686-1.55833273) × cos(-1.23650425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328100517574221 × 6371000     		du = 200.399783465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23647279)-sin(-1.23650425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.328100517574221)×R²
    abs(1.55833273-1.55823686)×2.97183006298107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97183006298107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97183006298107e-05×40589641000000     		ar = 40168.2803420745m²