Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49020 / 81788
↖ ↑ ↗
← S 40.705628°
W 45.362549°		 ← 231.49 m → S 40.705628°
W 45.359802°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
S 40.707710°
W 45.362549°		 ← 231.48 m →
53 593 m²		 S 40.707710°
W 45.359802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373996734619141 y=0.623996734619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373996734619141 × 217)
    floor (0.373996734619141 × 131072)
    floor (49020.5)     		tx = 49020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623996734619141 × 217)
    floor (0.623996734619141 × 131072)
    floor (81788.5)     		ty = 81788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49020 / 81788 ti = "17/49020/81788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49020/81788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49020 ÷ 217
    49020 ÷ 131072     		x = 0.373992919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81788 ÷ 217
    81788 ÷ 131072     		y = 0.623992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.25201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79172583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.24798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.779070492625153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79172583} λ = -0.79172583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779070492625153))-π/2
    2×atan(0.458832301162497)-π/2
    2×0.430174547599147-π/2
    0.860349095198293-1.57079632675     		φ = -0.71044723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79172583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71044723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.705628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49020 KachelY 81788 -0.79172583 -0.71044723 -45.362549 -40.705628
    Oben rechts KachelX + 1 49021 KachelY 81788 -0.79167790 -0.71044723 -45.359802 -40.705628
    Unten links KachelX 49020 KachelY + 1 81789 -0.79172583 -0.71048357 -45.362549 -40.707710
    Unten rechts KachelX + 1 49021 KachelY + 1 81789 -0.79167790 -0.71048357 -45.359802 -40.707710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71044723--0.71048357) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dl = 231.522139999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71044723--0.71048357) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dr = 231.522139999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79172583--0.79167790) × cos(-0.71044723) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.758070280541062 × 6371000     		do = 231.485879748294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79172583--0.79167790) × cos(-0.71048357) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.758046580078492 × 6371000     		du = 231.478642526931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71044723)-sin(-0.71048357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758070280541062-0.758046580078492)×R²
    abs(-0.79167790--0.79172583)×2.37004625701642e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37004625701642e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37004625701642e-05×40589641000000     		ar = 53593.2684764482m²