Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49016 / 82492
↖ ↑ ↗
← S 42.155259°
W 45.373535°		 ← 226.42 m → S 42.155259°
W 45.370788°		 →
↑
226.43 m
↓
↑
226.43 m
↓
S 42.157295°
W 45.373535°		 ← 226.41 m →
51 267 m²		 S 42.157295°
W 45.370788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373966217041016 y=0.629367828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373966217041016 × 217)
    floor (0.373966217041016 × 131072)
    floor (49016.5)     		tx = 49016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629367828369141 × 217)
    floor (0.629367828369141 × 131072)
    floor (82492.5)     		ty = 82492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49016 / 82492 ti = "17/49016/82492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49016/82492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49016 ÷ 217
    49016 ÷ 131072     		x = 0.37396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82492 ÷ 217
    82492 ÷ 131072     		y = 0.629364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.2520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79191758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.25872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.812818069957672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79191758} λ = -0.79191758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812818069957672))-π/2
    2×atan(0.44360618983719)-π/2
    2×0.417524126050888-π/2
    0.835048252101777-1.57079632675     		φ = -0.73574807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79191758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73574807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.155259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49016 KachelY 82492 -0.79191758 -0.73574807 -45.373535 -42.155259
    Oben rechts KachelX + 1 49017 KachelY 82492 -0.79186964 -0.73574807 -45.370788 -42.155259
    Unten links KachelX 49016 KachelY + 1 82493 -0.79191758 -0.73578361 -45.373535 -42.157295
    Unten rechts KachelX + 1 49017 KachelY + 1 82493 -0.79186964 -0.73578361 -45.370788 -42.157295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73574807--0.73578361) × R
    3.55400000000561e-05 × 6371000     		dl = 226.425340000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73574807--0.73578361) × R
    3.55400000000561e-05 × 6371000     		dr = 226.425340000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79191758--0.79186964) × cos(-0.73574807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741328899748126 × 6371000     		do = 226.420927788809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79191758--0.79186964) × cos(-0.73578361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741305046896492 × 6371000     		du = 226.413642513947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73574807)-sin(-0.73578361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741328899748126-0.741305046896492)×R²
    abs(-0.79186964--0.79191758)×2.38528516341985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38528516341985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38528516341985e-05×40589641000000     		ar = 51266.6107777548m²