Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49016 / 82490
↖ ↑ ↗
← S 42.151187°
W 45.373535°		 ← 226.44 m → S 42.151187°
W 45.370788°		 →
↑
226.43 m
↓
↑
226.43 m
↓
S 42.153223°
W 45.373535°		 ← 226.43 m →
51 270 m²		 S 42.153223°
W 45.370788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373966217041016 y=0.629352569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373966217041016 × 217)
    floor (0.373966217041016 × 131072)
    floor (49016.5)     		tx = 49016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629352569580078 × 217)
    floor (0.629352569580078 × 131072)
    floor (82490.5)     		ty = 82490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49016 / 82490 ti = "17/49016/82490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49016/82490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49016 ÷ 217
    49016 ÷ 131072     		x = 0.37396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82490 ÷ 217
    82490 ÷ 131072     		y = 0.629348754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.2520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79191758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629348754882812 × 2 - 1) × π
    -0.258697509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.812722196158432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79191758} λ = -0.79191758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812722196158432))-π/2
    2×atan(0.443648722086808)-π/2
    2×0.417559664203098-π/2
    0.835119328406195-1.57079632675     		φ = -0.73567700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79191758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73567700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.151187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49016 KachelY 82490 -0.79191758 -0.73567700 -45.373535 -42.151187
    Oben rechts KachelX + 1 49017 KachelY 82490 -0.79186964 -0.73567700 -45.370788 -42.151187
    Unten links KachelX 49016 KachelY + 1 82491 -0.79191758 -0.73571254 -45.373535 -42.153223
    Unten rechts KachelX + 1 49017 KachelY + 1 82491 -0.79186964 -0.73571254 -45.370788 -42.153223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73567700--0.73571254) × R
    3.55399999999451e-05 × 6371000     		dl = 226.42533999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73567700--0.73571254) × R
    3.55399999999451e-05 × 6371000     		dr = 226.42533999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79191758--0.79186964) × cos(-0.73567700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741376595931373 × 6371000     		do = 226.435495430872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79191758--0.79186964) × cos(-0.73571254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741352744952239 × 6371000     		du = 226.42821072792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73567700)-sin(-0.73571254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741376595931373-0.741352744952239)×R²
    abs(-0.79186964--0.79191758)×2.38509791348207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38509791348207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38509791348207e-05×40589641000000     		ar = 51269.9093257015m²