Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49016 / 50488
↖ ↑ ↗
← S 69.271708°
E 89.252930°		 ← 216.18 m → S 69.271708°
E 89.258423°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 69.273653°
E 89.252930°		 ← 216.16 m →
46 743 m²		 S 69.273653°
E 89.258423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747932434082031 y=0.770393371582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747932434082031 × 216)
    floor (0.747932434082031 × 65536)
    floor (49016.5)     		tx = 49016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770393371582031 × 216)
    floor (0.770393371582031 × 65536)
    floor (50488.5)     		ty = 50488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49016 / 50488 ti = "16/49016/50488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49016/50488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49016 ÷ 216
    49016 ÷ 65536     		x = 0.7479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50488 ÷ 216
    50488 ÷ 65536     		y = 0.7703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7479248046875 × 2 - 1) × π
    0.495849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55775749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55775749} λ = 1.55775749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69888372253479))-π/2
    2×atan(0.182887563414984)-π/2
    2×0.180888466016382-π/2
    0.361776932032763-1.57079632675     		φ = -1.20901939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55775749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20901939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.271708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49016 KachelY 50488 1.55775749 -1.20901939 89.252930 -69.271708
    Oben rechts KachelX + 1 49017 KachelY 50488 1.55785336 -1.20901939 89.258423 -69.271708
    Unten links KachelX 49016 KachelY + 1 50489 1.55775749 -1.20905333 89.252930 -69.273653
    Unten rechts KachelX + 1 49017 KachelY + 1 50489 1.55785336 -1.20905333 89.258423 -69.273653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20901939--1.20905333) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20901939--1.20905333) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55775749-1.55785336) × cos(-1.20901939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35393670574857 × 6371000     		do = 216.180211225311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55775749-1.55785336) × cos(-1.20905333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353904962502053 × 6371000     		du = 216.160822838558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20901939)-sin(-1.20905333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35393670574857-0.353904962502053)×R²
    abs(1.55785336-1.55775749)×3.17432465173351e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17432465173351e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17432465173351e-05×40589641000000     		ar = 46742.9270387462m²