Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49015 / 82155
↖ ↑ ↗
← S 41.465370°
W 45.376282°		 ← 228.87 m → S 41.465370°
W 45.373535°		 →
↑
228.85 m
↓
↑
228.85 m
↓
S 41.467429°
W 45.376282°		 ← 228.87 m →
52 376 m²		 S 41.467429°
W 45.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373958587646484 y=0.626796722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373958587646484 × 217)
    floor (0.373958587646484 × 131072)
    floor (49015.5)     		tx = 49015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626796722412109 × 217)
    floor (0.626796722412109 × 131072)
    floor (82155.5)     		ty = 82155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49015 / 82155 ti = "17/49015/82155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49015/82155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49015 ÷ 217
    49015 ÷ 131072     		x = 0.373954772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82155 ÷ 217
    82155 ÷ 131072     		y = 0.626792907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373954772949219 × 2 - 1) × π
    -0.252090454101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.79196552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626792907714844 × 2 - 1) × π
    -0.253585815429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.796663334785713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79196552} λ = -0.79196552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796663334785713))-π/2
    2×atan(0.450830728490732)-π/2
    2×0.423544545830074-π/2
    0.847089091660147-1.57079632675     		φ = -0.72370724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79196552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.376282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72370724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.465370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49015 KachelY 82155 -0.79196552 -0.72370724 -45.376282 -41.465370
    Oben rechts KachelX + 1 49016 KachelY 82155 -0.79191758 -0.72370724 -45.373535 -41.465370
    Unten links KachelX 49015 KachelY + 1 82156 -0.79196552 -0.72374316 -45.376282 -41.467429
    Unten rechts KachelX + 1 49016 KachelY + 1 82156 -0.79191758 -0.72374316 -45.373535 -41.467429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72370724--0.72374316) × R
    3.59200000000781e-05 × 6371000     		dl = 228.846320000498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72370724--0.72374316) × R
    3.59200000000781e-05 × 6371000     		dr = 228.846320000498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79196552--0.79191758) × cos(-0.72370724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.749356071245574 × 6371000     		do = 228.872632583522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79196552--0.79191758) × cos(-0.72374316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74933228571422 × 6371000     		du = 228.865367870007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72370724)-sin(-0.72374316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749356071245574-0.74933228571422)×R²
    abs(-0.79191758--0.79196552)×2.37855313541813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37855313541813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37855313541813e-05×40589641000000     		ar = 52375.828469575m²