Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49015 / 51182
↖ ↑ ↗
← S 70.579765°
E 89.247437°		 ← 203.08 m → S 70.579765°
E 89.252930°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
S 70.581591°
E 89.247437°		 ← 203.07 m →
41 246 m²		 S 70.581591°
E 89.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747917175292969 y=0.780982971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747917175292969 × 216)
    floor (0.747917175292969 × 65536)
    floor (49015.5)     		tx = 49015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780982971191406 × 216)
    floor (0.780982971191406 × 65536)
    floor (51182.5)     		ty = 51182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49015 / 51182 ti = "16/49015/51182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49015/51182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49015 ÷ 216
    49015 ÷ 65536     		x = 0.747909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51182 ÷ 216
    51182 ÷ 65536     		y = 0.780975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747909545898438 × 2 - 1) × π
    0.495819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55766162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780975341796875 × 2 - 1) × π
    -0.56195068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76542013920743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55766162} λ = 1.55766162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76542013920743))-π/2
    2×atan(0.171114879310714)-π/2
    2×0.169473521463854-π/2
    0.338947042927708-1.57079632675     		φ = -1.23184928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55766162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.247437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23184928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.579765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49015 KachelY 51182 1.55766162 -1.23184928 89.247437 -70.579765
    Oben rechts KachelX + 1 49016 KachelY 51182 1.55775749 -1.23184928 89.252930 -70.579765
    Unten links KachelX 49015 KachelY + 1 51183 1.55766162 -1.23188116 89.247437 -70.581591
    Unten rechts KachelX + 1 49016 KachelY + 1 51183 1.55775749 -1.23188116 89.252930 -70.581591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23184928--1.23188116) × R
    3.18799999998731e-05 × 6371000     		dl = 203.107479999192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23184928--1.23188116) × R
    3.18799999998731e-05 × 6371000     		dr = 203.107479999192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55766162-1.55775749) × cos(-1.23184928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332494230907257 × 6371000     		do = 203.083409833704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55766162-1.55775749) × cos(-1.23188116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332464164541681 × 6371000     		du = 203.065045665322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23184928)-sin(-1.23188116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332494230907257-0.332464164541681)×R²
    abs(1.55775749-1.55766162)×3.00663655753985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00663655753985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00663655753985e-05×40589641000000     		ar = 41245.8946542137m²