Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49014 / 82493
↖ ↑ ↗
← S 42.157295°
W 45.379029°		 ← 226.41 m → S 42.157295°
W 45.376282°		 →
↑
226.43 m
↓
↑
226.43 m
↓
S 42.159332°
W 45.379029°		 ← 226.41 m →
51 265 m²		 S 42.159332°
W 45.376282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373950958251953 y=0.629375457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373950958251953 × 217)
    floor (0.373950958251953 × 131072)
    floor (49014.5)     		tx = 49014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629375457763672 × 217)
    floor (0.629375457763672 × 131072)
    floor (82493.5)     		ty = 82493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49014 / 82493 ti = "17/49014/82493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49014/82493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49014 ÷ 217
    49014 ÷ 131072     		x = 0.373947143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82493 ÷ 217
    82493 ÷ 131072     		y = 0.629371643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373947143554688 × 2 - 1) × π
    -0.252105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79201346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629371643066406 × 2 - 1) × π
    -0.258743286132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.812866006857292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79201346} λ = -0.79201346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812866006857292))-π/2
    2×atan(0.44358492524148)-π/2
    2×0.417506357832266-π/2
    0.835012715664533-1.57079632675     		φ = -0.73578361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79201346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.379029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73578361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.157295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49014 KachelY 82493 -0.79201346 -0.73578361 -45.379029 -42.157295
    Oben rechts KachelX + 1 49015 KachelY 82493 -0.79196552 -0.73578361 -45.376282 -42.157295
    Unten links KachelX 49014 KachelY + 1 82494 -0.79201346 -0.73581915 -45.379029 -42.159332
    Unten rechts KachelX + 1 49015 KachelY + 1 82494 -0.79196552 -0.73581915 -45.376282 -42.159332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73578361--0.73581915) × R
    3.55399999999451e-05 × 6371000     		dl = 226.42533999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73578361--0.73581915) × R
    3.55399999999451e-05 × 6371000     		dr = 226.42533999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79201346--0.79196552) × cos(-0.73578361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741305046896492 × 6371000     		do = 226.413642513947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79201346--0.79196552) × cos(-0.73581915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741281193108522 × 6371000     		du = 226.406356953105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73578361)-sin(-0.73581915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741305046896492-0.741281193108522)×R²
    abs(-0.79196552--0.79201346)×2.38537879702072e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38537879702072e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38537879702072e-05×40589641000000     		ar = 51264.9611745445m²