Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49013 / 82485
↖ ↑ ↗
← S 42.141005°
W 45.381775°		 ← 226.42 m → S 42.141005°
W 45.379029°		 →
↑
226.43 m
↓
↑
226.43 m
↓
S 42.143041°
W 45.381775°		 ← 226.42 m →
51 267 m²		 S 42.143041°
W 45.379029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373943328857422 y=0.629314422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373943328857422 × 217)
    floor (0.373943328857422 × 131072)
    floor (49013.5)     		tx = 49013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629314422607422 × 217)
    floor (0.629314422607422 × 131072)
    floor (82485.5)     		ty = 82485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49013 / 82485 ti = "17/49013/82485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49013/82485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49013 ÷ 217
    49013 ÷ 131072     		x = 0.373939514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82485 ÷ 217
    82485 ÷ 131072     		y = 0.629310607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373939514160156 × 2 - 1) × π
    -0.252120971679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.79206139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629310607910156 × 2 - 1) × π
    -0.258621215820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.812482511660332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79206139} λ = -0.79206139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812482511660332))-π/2
    2×atan(0.443755070552624)-π/2
    2×0.417648519587398-π/2
    0.835297039174795-1.57079632675     		φ = -0.73549929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79206139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.381775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73549929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.141005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49013 KachelY 82485 -0.79206139 -0.73549929 -45.381775 -42.141005
    Oben rechts KachelX + 1 49014 KachelY 82485 -0.79201346 -0.73549929 -45.379029 -42.141005
    Unten links KachelX 49013 KachelY + 1 82486 -0.79206139 -0.73553483 -45.381775 -42.143041
    Unten rechts KachelX + 1 49014 KachelY + 1 82486 -0.79201346 -0.73553483 -45.379029 -42.143041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73549929--0.73553483) × R
    3.55399999999451e-05 × 6371000     		dl = 226.42533999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73549929--0.73553483) × R
    3.55399999999451e-05 × 6371000     		dr = 226.42533999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79206139--0.79201346) × cos(-0.73549929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741495843489621 × 6371000     		do = 226.424676004692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79206139--0.79201346) × cos(-0.73553483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741471997193184 × 6371000     		du = 226.417394251204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73549929)-sin(-0.73553483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741495843489621-0.741471997193184)×R²
    abs(-0.79201346--0.79206139)×2.38462964372577e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38462964372577e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38462964372577e-05×40589641000000     		ar = 51267.459867291m²