Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49012 / 50792
↖ ↑ ↗
← S 69.854762°
E 89.230957°		 ← 210.38 m → S 69.854762°
E 89.236450°		 →
↑
210.37 m
↓
↑
210.37 m
↓
S 69.856654°
E 89.230957°		 ← 210.36 m →
44 255 m²		 S 69.856654°
E 89.236450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747871398925781 y=0.775032043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747871398925781 × 216)
    floor (0.747871398925781 × 65536)
    floor (49012.5)     		tx = 49012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775032043457031 × 216)
    floor (0.775032043457031 × 65536)
    floor (50792.5)     		ty = 50792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49012 / 50792 ti = "16/49012/50792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49012/50792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49012 ÷ 216
    49012 ÷ 65536     		x = 0.74786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50792 ÷ 216
    50792 ÷ 65536     		y = 0.7750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74786376953125 × 2 - 1) × π
    0.4957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55737399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72802935750378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55737399} λ = 1.55737399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72802935750378))-π/2
    2×atan(0.177634118624276)-π/2
    2×0.175800364090067-π/2
    0.351600728180134-1.57079632675     		φ = -1.21919560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55737399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21919560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.854762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49012 KachelY 50792 1.55737399 -1.21919560 89.230957 -69.854762
    Oben rechts KachelX + 1 49013 KachelY 50792 1.55746987 -1.21919560 89.236450 -69.854762
    Unten links KachelX 49012 KachelY + 1 50793 1.55737399 -1.21922862 89.230957 -69.856654
    Unten rechts KachelX + 1 49013 KachelY + 1 50793 1.55746987 -1.21922862 89.236450 -69.856654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21919560--1.21922862) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dl = 210.37042000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21919560--1.21922862) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dr = 210.37042000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55737399-1.55746987) × cos(-1.21919560) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344401046577212 × 6371000     		do = 210.377889015101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55737399-1.55746987) × cos(-1.21922862) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344370046466423 × 6371000     		du = 210.358952551545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21919560)-sin(-1.21922862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344401046577212-0.344370046466423)×R²
    abs(1.55746987-1.55737399)×3.10001107887703e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10001107887703e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10001107887703e-05×40589641000000     		ar = 44255.293038843m²