Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49010 / 82482
↖ ↑ ↗
← S 42.134895°
W 45.390014°		 ← 226.45 m → S 42.134895°
W 45.387268°		 →
↑
226.49 m
↓
↑
226.49 m
↓
S 42.136932°
W 45.390014°		 ← 226.44 m →
51 287 m²		 S 42.136932°
W 45.387268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373920440673828 y=0.629291534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373920440673828 × 217)
    floor (0.373920440673828 × 131072)
    floor (49010.5)     		tx = 49010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629291534423828 × 217)
    floor (0.629291534423828 × 131072)
    floor (82482.5)     		ty = 82482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49010 / 82482 ti = "17/49010/82482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49010/82482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49010 ÷ 217
    49010 ÷ 131072     		x = 0.373916625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82482 ÷ 217
    82482 ÷ 131072     		y = 0.629287719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373916625976562 × 2 - 1) × π
    -0.252166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79220520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629287719726562 × 2 - 1) × π
    -0.258575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.812338700961472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79220520} λ = -0.79220520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812338700961472))-π/2
    2×atan(0.443818891868427)-π/2
    2×0.417701839677548-π/2
    0.835403679355096-1.57079632675     		φ = -0.73539265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79220520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.390014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73539265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.134895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49010 KachelY 82482 -0.79220520 -0.73539265 -45.390014 -42.134895
    Oben rechts KachelX + 1 49011 KachelY 82482 -0.79215727 -0.73539265 -45.387268 -42.134895
    Unten links KachelX 49010 KachelY + 1 82483 -0.79220520 -0.73542820 -45.390014 -42.136932
    Unten rechts KachelX + 1 49011 KachelY + 1 82483 -0.79215727 -0.73542820 -45.387268 -42.136932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73539265--0.73542820) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dl = 226.48904999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73539265--0.73542820) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dr = 226.48904999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79220520--0.79215727) × cos(-0.73539265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741567390176918 × 6371000     		do = 226.446523646364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79220520--0.79215727) × cos(-0.73542820) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741543539981782 × 6371000     		du = 226.439240702362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73539265)-sin(-0.73542820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741567390176918-0.741543539981782)×R²
    abs(-0.79215727--0.79220520)×2.38501951357328e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38501951357328e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38501951357328e-05×40589641000000     		ar = 51286.8332682812m²