Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49008 / 82027
↖ ↑ ↗
← S 41.201390°
W 45.395508°		 ← 229.80 m → S 41.201390°
W 45.392761°		 →
↑
229.74 m
↓
↑
229.74 m
↓
S 41.203456°
W 45.395508°		 ← 229.79 m →
52 793 m²		 S 41.203456°
W 45.392761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373905181884766 y=0.625820159912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373905181884766 × 217)
    floor (0.373905181884766 × 131072)
    floor (49008.5)     		tx = 49008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625820159912109 × 217)
    floor (0.625820159912109 × 131072)
    floor (82027.5)     		ty = 82027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49008 / 82027 ti = "17/49008/82027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49008/82027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49008 ÷ 217
    49008 ÷ 131072     		x = 0.3739013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82027 ÷ 217
    82027 ÷ 131072     		y = 0.625816345214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625816345214844 × 2 - 1) × π
    -0.251632690429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.790527411634346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79230108} λ = -0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790527411634346))-π/2
    2×atan(0.453605495367463)-π/2
    2×0.425848210081001-π/2
    0.851696420162003-1.57079632675     		φ = -0.71909991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71909991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.201390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49008 KachelY 82027 -0.79230108 -0.71909991 -45.395508 -41.201390
    Oben rechts KachelX + 1 49009 KachelY 82027 -0.79225314 -0.71909991 -45.392761 -41.201390
    Unten links KachelX 49008 KachelY + 1 82028 -0.79230108 -0.71913597 -45.395508 -41.203456
    Unten rechts KachelX + 1 49009 KachelY + 1 82028 -0.79225314 -0.71913597 -45.392761 -41.203456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71909991--0.71913597) × R
    3.60600000000044e-05 × 6371000     		dl = 229.738260000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71909991--0.71913597) × R
    3.60600000000044e-05 × 6371000     		dr = 229.738260000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79230108--0.79225314) × cos(-0.71909991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752398930067951 × 6371000     		do = 229.801999991062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79230108--0.79225314) × cos(-0.71913597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752375176578676 × 6371000     		du = 229.794745064022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71909991)-sin(-0.71913597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752398930067951-0.752375176578676)×R²
    abs(-0.79225314--0.79230108)×2.37534892756353e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37534892756353e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37534892756353e-05×40589641000000     		ar = 52793.478261078m²