Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49008 / 51183
↖ ↑ ↗
← S 70.581591°
E 89.208984°		 ← 203.07 m → S 70.581591°
E 89.214477°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
S 70.583417°
E 89.208984°		 ← 203.05 m →
41 229 m²		 S 70.583417°
E 89.214477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747810363769531 y=0.780998229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747810363769531 × 216)
    floor (0.747810363769531 × 65536)
    floor (49008.5)     		tx = 49008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780998229980469 × 216)
    floor (0.780998229980469 × 65536)
    floor (51183.5)     		ty = 51183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49008 / 51183 ti = "16/49008/51183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49008/51183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49008 ÷ 216
    49008 ÷ 65536     		x = 0.747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51183 ÷ 216
    51183 ÷ 65536     		y = 0.780990600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747802734375 × 2 - 1) × π
    0.49560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55699050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780990600585938 × 2 - 1) × π
    -0.561981201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76551601300667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55699050} λ = 1.55699050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76551601300667))-π/2
    2×atan(0.171098474663529)-π/2
    2×0.169457583442022-π/2
    0.338915166884044-1.57079632675     		φ = -1.23188116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55699050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.208984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23188116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.581591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49008 KachelY 51183 1.55699050 -1.23188116 89.208984 -70.581591
    Oben rechts KachelX + 1 49009 KachelY 51183 1.55708637 -1.23188116 89.214477 -70.581591
    Unten links KachelX 49008 KachelY + 1 51184 1.55699050 -1.23191303 89.208984 -70.583417
    Unten rechts KachelX + 1 49009 KachelY + 1 51184 1.55708637 -1.23191303 89.214477 -70.583417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23188116--1.23191303) × R
    3.18700000001559e-05 × 6371000     		dl = 203.043770000994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23188116--1.23191303) × R
    3.18700000001559e-05 × 6371000     		dr = 203.043770000994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55699050-1.55708637) × cos(-1.23188116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332464164541681 × 6371000     		do = 203.065045665322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55699050-1.55708637) × cos(-1.23191303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332434107269476 × 6371000     		du = 203.046687051059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23188116)-sin(-1.23191303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332464164541681-0.332434107269476)×R²
    abs(1.55708637-1.55699050)×3.00572722055636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00572722055636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00572722055636e-05×40589641000000     		ar = 41229.2286297917m²