Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49007 / 82026
↖ ↑ ↗
← S 41.199323°
W 45.398254°		 ← 229.76 m → S 41.199323°
W 45.395508°		 →
↑
229.80 m
↓
↑
229.80 m
↓
S 41.201390°
W 45.398254°		 ← 229.75 m →
52 799 m²		 S 41.201390°
W 45.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373897552490234 y=0.625812530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373897552490234 × 217)
    floor (0.373897552490234 × 131072)
    floor (49007.5)     		tx = 49007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625812530517578 × 217)
    floor (0.625812530517578 × 131072)
    floor (82026.5)     		ty = 82026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49007 / 82026 ti = "17/49007/82026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49007/82026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49007 ÷ 217
    49007 ÷ 131072     		x = 0.373893737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82026 ÷ 217
    82026 ÷ 131072     		y = 0.625808715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373893737792969 × 2 - 1) × π
    -0.252212524414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.79234901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625808715820312 × 2 - 1) × π
    -0.251617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.790479474734726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79234901} λ = -0.79234901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790479474734726))-π/2
    2×atan(0.453627240329751)-π/2
    2×0.425866244201768-π/2
    0.851732488403536-1.57079632675     		φ = -0.71906384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79234901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.398254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71906384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.199323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49007 KachelY 82026 -0.79234901 -0.71906384 -45.398254 -41.199323
    Oben rechts KachelX + 1 49008 KachelY 82026 -0.79230108 -0.71906384 -45.395508 -41.199323
    Unten links KachelX 49007 KachelY + 1 82027 -0.79234901 -0.71909991 -45.398254 -41.201390
    Unten rechts KachelX + 1 49008 KachelY + 1 82027 -0.79230108 -0.71909991 -45.395508 -41.201390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71906384--0.71909991) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dl = 229.801969999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71906384--0.71909991) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dr = 229.801969999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79234901--0.79230108) × cos(-0.71906384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.752422689165671 × 6371000     		do = 229.761319781829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79234901--0.79230108) × cos(-0.71909991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.752398930067951 × 6371000     		du = 229.754064655518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71906384)-sin(-0.71909991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752422689165671-0.752398930067951)×R²
    abs(-0.79230108--0.79234901)×2.37590977193447e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37590977193447e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37590977193447e-05×40589641000000     		ar = 52798.7703001464m²