Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49007 / 50795
↖ ↑ ↗
← S 69.860437°
E 89.203491°		 ← 210.30 m → S 69.860437°
E 89.208984°		 →
↑
210.31 m
↓
↑
210.31 m
↓
S 69.862328°
E 89.203491°		 ← 210.28 m →
44 225 m²		 S 69.862328°
E 89.208984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747795104980469 y=0.775077819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747795104980469 × 216)
    floor (0.747795104980469 × 65536)
    floor (49007.5)     		tx = 49007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775077819824219 × 216)
    floor (0.775077819824219 × 65536)
    floor (50795.5)     		ty = 50795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49007 / 50795 ti = "16/49007/50795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49007/50795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49007 ÷ 216
    49007 ÷ 65536     		x = 0.747787475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50795 ÷ 216
    50795 ÷ 65536     		y = 0.775070190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747787475585938 × 2 - 1) × π
    0.495574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55689463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775070190429688 × 2 - 1) × π
    -0.550140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7283169789015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55689463} λ = 1.55689463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7283169789015))-π/2
    2×atan(0.177583034597577)-π/2
    2×0.175750842221148-π/2
    0.351501684442297-1.57079632675     		φ = -1.21929464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55689463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.203491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21929464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.860437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49007 KachelY 50795 1.55689463 -1.21929464 89.203491 -69.860437
    Oben rechts KachelX + 1 49008 KachelY 50795 1.55699050 -1.21929464 89.208984 -69.860437
    Unten links KachelX 49007 KachelY + 1 50796 1.55689463 -1.21932765 89.203491 -69.862328
    Unten rechts KachelX + 1 49008 KachelY + 1 50796 1.55699050 -1.21932765 89.208984 -69.862328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21929464--1.21932765) × R
    3.3010000000111e-05 × 6371000     		dl = 210.306710000707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21929464--1.21932765) × R
    3.3010000000111e-05 × 6371000     		dr = 210.306710000707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55689463-1.55699050) × cos(-1.21929464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344308063895593 × 6371000     		do = 210.299154539802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55689463-1.55699050) × cos(-1.21932765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344277072047393 × 6371000     		du = 210.280225097952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21929464)-sin(-1.21932765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344308063895593-0.344277072047393)×R²
    abs(1.55699050-1.55689463)×3.0991848200157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0991848200157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0991848200157e-05×40589641000000     		ar = 44225.3328166494m²