Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49005 / 82484
↖ ↑ ↗
← S 42.138968°
W 45.403748°		 ← 226.48 m → S 42.138968°
W 45.401001°		 →
↑
226.49 m
↓
↑
226.49 m
↓
S 42.141005°
W 45.403748°		 ← 226.47 m →
51 294 m²		 S 42.141005°
W 45.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373882293701172 y=0.629306793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373882293701172 × 217)
    floor (0.373882293701172 × 131072)
    floor (49005.5)     		tx = 49005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629306793212891 × 217)
    floor (0.629306793212891 × 131072)
    floor (82484.5)     		ty = 82484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49005 / 82484 ti = "17/49005/82484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49005/82484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49005 ÷ 217
    49005 ÷ 131072     		x = 0.373878479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82484 ÷ 217
    82484 ÷ 131072     		y = 0.629302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373878479003906 × 2 - 1) × π
    -0.252243041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.79244489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.25860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.812434574760712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79244489} λ = -0.79244489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812434574760712))-π/2
    2×atan(0.443776343304768)-π/2
    2×0.417666292379158-π/2
    0.835332584758317-1.57079632675     		φ = -0.73546374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79244489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.403748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73546374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.138968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49005 KachelY 82484 -0.79244489 -0.73546374 -45.403748 -42.138968
    Oben rechts KachelX + 1 49006 KachelY 82484 -0.79239695 -0.73546374 -45.401001 -42.138968
    Unten links KachelX 49005 KachelY + 1 82485 -0.79244489 -0.73549929 -45.403748 -42.141005
    Unten rechts KachelX + 1 49006 KachelY + 1 82485 -0.79239695 -0.73549929 -45.401001 -42.141005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73546374--0.73549929) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dl = 226.48904999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73546374--0.73549929) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dr = 226.48904999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79244489--0.79239695) × cos(-0.73546374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741519695558793 × 6371000     		do = 226.47920174047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79244489--0.79239695) × cos(-0.73549929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741495843489621 × 6371000     		du = 226.471916704593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73546374)-sin(-0.73549929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741519695558793-0.741495843489621)×R²
    abs(-0.79239695--0.79244489)×2.38520691712152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38520691712152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38520691712152e-05×40589641000000     		ar = 51294.2342618267m²