Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49003 / 50779
↖ ↑ ↗
← S 69.830154°
E 89.181519°		 ← 210.60 m → S 69.830154°
E 89.187011°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
S 69.832048°
E 89.181519°		 ← 210.58 m →
44 356 m²		 S 69.832048°
E 89.187011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747734069824219 y=0.774833679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747734069824219 × 216)
    floor (0.747734069824219 × 65536)
    floor (49003.5)     		tx = 49003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774833679199219 × 216)
    floor (0.774833679199219 × 65536)
    floor (50779.5)     		ty = 50779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49003 / 50779 ti = "16/49003/50779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49003/50779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49003 ÷ 216
    49003 ÷ 65536     		x = 0.747726440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50779 ÷ 216
    50779 ÷ 65536     		y = 0.774826049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747726440429688 × 2 - 1) × π
    0.495452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55651113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774826049804688 × 2 - 1) × π
    -0.549652099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72678299811366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55651113} λ = 1.55651113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72678299811366))-π/2
    2×atan(0.177855652602829)-π/2
    2×0.176015113439186-π/2
    0.352030226878372-1.57079632675     		φ = -1.21876610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55651113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.181519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21876610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.830154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49003 KachelY 50779 1.55651113 -1.21876610 89.181519 -69.830154
    Oben rechts KachelX + 1 49004 KachelY 50779 1.55660700 -1.21876610 89.187011 -69.830154
    Unten links KachelX 49003 KachelY + 1 50780 1.55651113 -1.21879916 89.181519 -69.832048
    Unten rechts KachelX + 1 49004 KachelY + 1 50780 1.55660700 -1.21879916 89.187011 -69.832048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21876610--1.21879916) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dl = 210.625260000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21876610--1.21879916) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dr = 210.625260000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55651113-1.55660700) × cos(-1.21876610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3448042391159 × 6371000     		do = 210.602212296142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55651113-1.55660700) × cos(-1.21879916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344773206344636 × 6371000     		du = 210.583257858986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21876610)-sin(-1.21879916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3448042391159-0.344773206344636)×R²
    abs(1.55660700-1.55651113)×3.10327712631508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10327712631508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10327712631508e-05×40589641000000     		ar = 44356.1495839628m²