Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49002 / 82474
↖ ↑ ↗
← S 42.118598°
W 45.411987°		 ← 226.55 m → S 42.118598°
W 45.409241°		 →
↑
226.55 m
↓
↑
226.55 m
↓
S 42.120636°
W 45.411987°		 ← 226.54 m →
51 325 m²		 S 42.120636°
W 45.409241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373859405517578 y=0.629230499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373859405517578 × 217)
    floor (0.373859405517578 × 131072)
    floor (49002.5)     		tx = 49002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629230499267578 × 217)
    floor (0.629230499267578 × 131072)
    floor (82474.5)     		ty = 82474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49002 / 82474 ti = "17/49002/82474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49002/82474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49002 ÷ 217
    49002 ÷ 131072     		x = 0.373855590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82474 ÷ 217
    82474 ÷ 131072     		y = 0.629226684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373855590820312 × 2 - 1) × π
    -0.252288818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79258870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629226684570312 × 2 - 1) × π
    -0.258453369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.811955205764511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79258870} λ = -0.79258870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811955205764511))-π/2
    2×atan(0.443989126921855)-π/2
    2×0.417844051735416-π/2
    0.835688103470831-1.57079632675     		φ = -0.73510822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79258870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.411987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73510822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.118598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49002 KachelY 82474 -0.79258870 -0.73510822 -45.411987 -42.118598
    Oben rechts KachelX + 1 49003 KachelY 82474 -0.79254076 -0.73510822 -45.409241 -42.118598
    Unten links KachelX 49002 KachelY + 1 82475 -0.79258870 -0.73514378 -45.411987 -42.120636
    Unten rechts KachelX + 1 49003 KachelY + 1 82475 -0.79254076 -0.73514378 -45.409241 -42.120636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73510822--0.73514378) × R
    3.55600000000456e-05 × 6371000     		dl = 226.55276000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73510822--0.73514378) × R
    3.55600000000456e-05 × 6371000     		dr = 226.55276000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79258870--0.79254076) × cos(-0.73510822) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.741758178116486 × 6371000     		do = 226.552040452656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79258870--0.79254076) × cos(-0.73514378) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.741734328713605 × 6371000     		du = 226.544756231132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73510822)-sin(-0.73514378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741758178116486-0.741734328713605)×R²
    abs(-0.79254076--0.79258870)×2.38494028811376e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38494028811376e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38494028811376e-05×40589641000000     		ar = 51325.1649234695m²