Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49000 / 82146
↖ ↑ ↗
← S 41.446844°
W 45.417480°		 ← 228.89 m → S 41.446844°
W 45.414734°		 →
↑
228.91 m
↓
↑
228.91 m
↓
S 41.448903°
W 45.417480°		 ← 228.88 m →
52 394 m²		 S 41.448903°
W 45.414734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373844146728516 y=0.626728057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373844146728516 × 217)
    floor (0.373844146728516 × 131072)
    floor (49000.5)     		tx = 49000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626728057861328 × 217)
    floor (0.626728057861328 × 131072)
    floor (82146.5)     		ty = 82146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49000 / 82146 ti = "17/49000/82146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49000/82146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49000 ÷ 217
    49000 ÷ 131072     		x = 0.37384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82146 ÷ 217
    82146 ÷ 131072     		y = 0.626724243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.2523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79268457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626724243164062 × 2 - 1) × π
    -0.253448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.796231902689133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79268457} λ = -0.79268457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796231902689133))-π/2
    2×atan(0.451025273300548)-π/2
    2×0.423706217050438-π/2
    0.847412434100875-1.57079632675     		φ = -0.72338389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79268457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.417480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72338389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.446844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49000 KachelY 82146 -0.79268457 -0.72338389 -45.417480 -41.446844
    Oben rechts KachelX + 1 49001 KachelY 82146 -0.79263664 -0.72338389 -45.414734 -41.446844
    Unten links KachelX 49000 KachelY + 1 82147 -0.79268457 -0.72341982 -45.417480 -41.448903
    Unten rechts KachelX + 1 49001 KachelY + 1 82147 -0.79263664 -0.72341982 -45.414734 -41.448903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72338389--0.72341982) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dl = 228.91003000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72338389--0.72341982) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dr = 228.91003000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79268457--0.79263664) × cos(-0.72338389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.749570143850397 × 6371000     		do = 228.890260753689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79268457--0.79263664) × cos(-0.72341982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.749546360404199 × 6371000     		du = 228.882998192278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72338389)-sin(-0.72341982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749570143850397-0.749546360404199)×R²
    abs(-0.79263664--0.79268457)×2.37834461975783e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37834461975783e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37834461975783e-05×40589641000000     		ar = 52394.4452248843m²