Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49000 / 50631
↖ ↑ ↗
← S 69.547958°
E 89.165039°		 ← 213.42 m → S 69.547958°
E 89.170532°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
S 69.549877°
E 89.165039°		 ← 213.40 m →
45 549 m²		 S 69.549877°
E 89.170532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747688293457031 y=0.772575378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747688293457031 × 216)
    floor (0.747688293457031 × 65536)
    floor (49000.5)     		tx = 49000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772575378417969 × 216)
    floor (0.772575378417969 × 65536)
    floor (50631.5)     		ty = 50631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49000 / 50631 ti = "16/49000/50631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49000/50631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49000 ÷ 216
    49000 ÷ 65536     		x = 0.7476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50631 ÷ 216
    50631 ÷ 65536     		y = 0.772567749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7476806640625 × 2 - 1) × π
    0.495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55622351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772567749023438 × 2 - 1) × π
    -0.545135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71259367582613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55622351} λ = 1.55622351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71259367582613))-π/2
    2×atan(0.180397293213466)-π/2
    2×0.17847773644494-π/2
    0.356955472889879-1.57079632675     		φ = -1.21384085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55622351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21384085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.547958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49000 KachelY 50631 1.55622351 -1.21384085 89.165039 -69.547958
    Oben rechts KachelX + 1 49001 KachelY 50631 1.55631938 -1.21384085 89.170532 -69.547958
    Unten links KachelX 49000 KachelY + 1 50632 1.55622351 -1.21387435 89.165039 -69.549877
    Unten rechts KachelX + 1 49001 KachelY + 1 50632 1.55631938 -1.21387435 89.170532 -69.549877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21384085--1.21387435) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21384085--1.21387435) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55622351-1.55631938) × cos(-1.21384085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349423245444579 × 6371000     		do = 213.423444871253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55622351-1.55631938) × cos(-1.21387435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349391856921296 × 6371000     		du = 213.404273145113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21384085)-sin(-1.21387435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349423245444579-0.349391856921296)×R²
    abs(1.55631938-1.55622351)×3.13885232838818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13885232838818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13885232838818e-05×40589641000000     		ar = 45548.5998113758m²