Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48999 / 82010
↖ ↑ ↗
← S 41.166249°
W 45.420227°		 ← 229.93 m → S 41.166249°
W 45.417480°		 →
↑
229.93 m
↓
↑
229.93 m
↓
S 41.168317°
W 45.420227°		 ← 229.92 m →
52 866 m²		 S 41.168317°
W 45.417480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373836517333984 y=0.625690460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373836517333984 × 217)
    floor (0.373836517333984 × 131072)
    floor (48999.5)     		tx = 48999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625690460205078 × 217)
    floor (0.625690460205078 × 131072)
    floor (82010.5)     		ty = 82010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48999 / 82010 ti = "17/48999/82010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48999/82010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48999 ÷ 217
    48999 ÷ 131072     		x = 0.373832702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82010 ÷ 217
    82010 ÷ 131072     		y = 0.625686645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373832702636719 × 2 - 1) × π
    -0.252334594726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.79273251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625686645507812 × 2 - 1) × π
    -0.251373291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.789712484340805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79273251} λ = -0.79273251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789712484340805))-π/2
    2×atan(0.453975301528239)-π/2
    2×0.426154867573897-π/2
    0.852309735147794-1.57079632675     		φ = -0.71848659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79273251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.420227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71848659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.166249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48999 KachelY 82010 -0.79273251 -0.71848659 -45.420227 -41.166249
    Oben rechts KachelX + 1 49000 KachelY 82010 -0.79268457 -0.71848659 -45.417480 -41.166249
    Unten links KachelX 48999 KachelY + 1 82011 -0.79273251 -0.71852268 -45.420227 -41.168317
    Unten rechts KachelX + 1 49000 KachelY + 1 82011 -0.79268457 -0.71852268 -45.417480 -41.168317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71848659--0.71852268) × R
    3.60899999999331e-05 × 6371000     		dl = 229.929389999574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71848659--0.71852268) × R
    3.60899999999331e-05 × 6371000     		dr = 229.929389999574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79273251--0.79268457) × cos(-0.71848659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752802787144912 × 6371000     		do = 229.925348337646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79273251--0.79268457) × cos(-0.71852268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752779030551936 × 6371000     		du = 229.918092462657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71848659)-sin(-0.71852268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752802787144912-0.752779030551936)×R²
    abs(-0.79268457--0.79273251)×2.37565929753769e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37565929753769e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37565929753769e-05×40589641000000     		ar = 52865.7609250228m²