Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48998 / 50525
↖ ↑ ↗
← S 69.343526°
E 89.154053°		 ← 215.49 m → S 69.343526°
E 89.159546°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 69.345464°
E 89.154053°		 ← 215.47 m →
46 428 m²		 S 69.345464°
E 89.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747657775878906 y=0.770957946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747657775878906 × 216)
    floor (0.747657775878906 × 65536)
    floor (48998.5)     		tx = 48998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770957946777344 × 216)
    floor (0.770957946777344 × 65536)
    floor (50525.5)     		ty = 50525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48998 / 50525 ti = "16/48998/50525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48998/50525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48998 ÷ 216
    48998 ÷ 65536     		x = 0.747650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50525 ÷ 216
    50525 ÷ 65536     		y = 0.770950317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747650146484375 × 2 - 1) × π
    0.49530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55603176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770950317382812 × 2 - 1) × π
    -0.541900634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70243105310667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55603176} λ = 1.55603176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70243105310667))-π/2
    2×atan(0.182239950098429)-π/2
    2×0.180261741160823-π/2
    0.360523482321645-1.57079632675     		φ = -1.21027284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55603176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21027284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.343526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48998 KachelY 50525 1.55603176 -1.21027284 89.154053 -69.343526
    Oben rechts KachelX + 1 48999 KachelY 50525 1.55612764 -1.21027284 89.159546 -69.343526
    Unten links KachelX 48998 KachelY + 1 50526 1.55603176 -1.21030666 89.154053 -69.345464
    Unten rechts KachelX + 1 48999 KachelY + 1 50526 1.55612764 -1.21030666 89.159546 -69.345464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21027284--1.21030666) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dl = 215.467220000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21027284--1.21030666) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dr = 215.467220000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55603176-1.55612764) × cos(-1.21027284) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.352764114612958 × 6371000     		do = 215.486481502074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55603176-1.55612764) × cos(-1.21030666) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.352732468621756 × 6371000     		du = 215.467150501512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21027284)-sin(-1.21030666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352764114612958-0.352732468621756)×R²
    abs(1.55612764-1.55603176)×3.16459912017009e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.16459912017009e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.16459912017009e-05×40589641000000     		ar = 46428.1905228546m²