Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48997 / 50534
↖ ↑ ↗
← S 69.360959°
E 89.148560°		 ← 215.29 m → S 69.360959°
E 89.154053°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
S 69.362895°
E 89.148560°		 ← 215.27 m →
46 345 m²		 S 69.362895°
E 89.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747642517089844 y=0.771095275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747642517089844 × 216)
    floor (0.747642517089844 × 65536)
    floor (48997.5)     		tx = 48997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771095275878906 × 216)
    floor (0.771095275878906 × 65536)
    floor (50534.5)     		ty = 50534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48997 / 50534 ti = "16/48997/50534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48997/50534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48997 ÷ 216
    48997 ÷ 65536     		x = 0.747634887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50534 ÷ 216
    50534 ÷ 65536     		y = 0.771087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747634887695312 × 2 - 1) × π
    0.495269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55593589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.54217529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70329391729984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55593589} λ = 1.55593589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70329391729984))-π/2
    2×atan(0.182082769593392)-π/2
    2×0.180109608826938-π/2
    0.360219217653876-1.57079632675     		φ = -1.21057711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55593589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.148560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21057711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.360959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48997 KachelY 50534 1.55593589 -1.21057711 89.148560 -69.360959
    Oben rechts KachelX + 1 48998 KachelY 50534 1.55603176 -1.21057711 89.154053 -69.360959
    Unten links KachelX 48997 KachelY + 1 50535 1.55593589 -1.21061090 89.148560 -69.362895
    Unten rechts KachelX + 1 48998 KachelY + 1 50535 1.55603176 -1.21061090 89.154053 -69.362895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21057711--1.21061090) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dl = 215.276090000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21057711--1.21061090) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dr = 215.276090000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55593589-1.55603176) × cos(-1.21057711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352479389111042 × 6371000     		do = 215.290100046091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55593589-1.55603176) × cos(-1.21061090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352447767566325 × 6371000     		du = 215.270785993309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21057711)-sin(-1.21061090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352479389111042-0.352447767566325)×R²
    abs(1.55603176-1.55593589)×3.16215447169754e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16215447169754e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16215447169754e-05×40589641000000     		ar = 46344.7320311643m²