Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48997 / 50526
↖ ↑ ↗
← S 69.345464°
E 89.148560°		 ← 215.44 m → S 69.345464°
E 89.154053°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 69.347401°
E 89.148560°		 ← 215.43 m →
46 419 m²		 S 69.347401°
E 89.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747642517089844 y=0.770973205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747642517089844 × 216)
    floor (0.747642517089844 × 65536)
    floor (48997.5)     		tx = 48997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770973205566406 × 216)
    floor (0.770973205566406 × 65536)
    floor (50526.5)     		ty = 50526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48997 / 50526 ti = "16/48997/50526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48997/50526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48997 ÷ 216
    48997 ÷ 65536     		x = 0.747634887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50526 ÷ 216
    50526 ÷ 65536     		y = 0.770965576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747634887695312 × 2 - 1) × π
    0.495269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55593589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770965576171875 × 2 - 1) × π
    -0.54193115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70252692690591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55593589} λ = 1.55593589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70252692690591))-π/2
    2×atan(0.182222478899568)-π/2
    2×0.180244831501571-π/2
    0.360489663003143-1.57079632675     		φ = -1.21030666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55593589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.148560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21030666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.345464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48997 KachelY 50526 1.55593589 -1.21030666 89.148560 -69.345464
    Oben rechts KachelX + 1 48998 KachelY 50526 1.55603176 -1.21030666 89.154053 -69.345464
    Unten links KachelX 48997 KachelY + 1 50527 1.55593589 -1.21034048 89.148560 -69.347401
    Unten rechts KachelX + 1 48998 KachelY + 1 50527 1.55603176 -1.21034048 89.154053 -69.347401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21030666--1.21034048) × R
    3.38199999998512e-05 × 6371000     		dl = 215.467219999052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21030666--1.21034048) × R
    3.38199999998512e-05 × 6371000     		dr = 215.467219999052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55593589-1.55603176) × cos(-1.21030666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352732468621756 × 6371000     		do = 215.444677916073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55593589-1.55603176) × cos(-1.21034048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352700822227102 × 6371000     		du = 215.425348685253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21030666)-sin(-1.21034048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352732468621756-0.352700822227102)×R²
    abs(1.55603176-1.55593589)×3.16463946541945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16463946541945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16463946541945e-05×40589641000000     		ar = 46419.1834107855m²