Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48996 / 82472
↖ ↑ ↗
← S 42.114524°
W 45.428467°		 ← 226.57 m → S 42.114524°
W 45.425720°		 →
↑
226.55 m
↓
↑
226.55 m
↓
S 42.116562°
W 45.428467°		 ← 226.56 m →
51 328 m²		 S 42.116562°
W 45.425720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373813629150391 y=0.629215240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373813629150391 × 217)
    floor (0.373813629150391 × 131072)
    floor (48996.5)     		tx = 48996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629215240478516 × 217)
    floor (0.629215240478516 × 131072)
    floor (82472.5)     		ty = 82472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48996 / 82472 ti = "17/48996/82472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48996/82472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48996 ÷ 217
    48996 ÷ 131072     		x = 0.373809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82472 ÷ 217
    82472 ÷ 131072     		y = 0.62921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.25238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79287632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.2584228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.811859331965271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79287632} λ = -0.79287632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811859331965271))-π/2
    2×atan(0.444031695886866)-π/2
    2×0.417879610465796-π/2
    0.835759220931593-1.57079632675     		φ = -0.73503711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79287632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.428467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73503711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.114524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48996 KachelY 82472 -0.79287632 -0.73503711 -45.428467 -42.114524
    Oben rechts KachelX + 1 48997 KachelY 82472 -0.79282838 -0.73503711 -45.425720 -42.114524
    Unten links KachelX 48996 KachelY + 1 82473 -0.79287632 -0.73507267 -45.428467 -42.116562
    Unten rechts KachelX + 1 48997 KachelY + 1 82473 -0.79282838 -0.73507267 -45.425720 -42.116562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73503711--0.73507267) × R
    3.55599999999345e-05 × 6371000     		dl = 226.552759999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73503711--0.73507267) × R
    3.55599999999345e-05 × 6371000     		dr = 226.552759999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79287632--0.79282838) × cos(-0.73503711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741805867402181 × 6371000     		do = 226.566605987505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79287632--0.79282838) × cos(-0.73507267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741782019874993 × 6371000     		du = 226.559322338866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73503711)-sin(-0.73507267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741805867402181-0.741782019874993)×R²
    abs(-0.79282838--0.79287632)×2.38475271880922e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38475271880922e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38475271880922e-05×40589641000000     		ar = 51328.4648502467m²