Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48996 / 50764
↖ ↑ ↗
← S 69.801724°
E 89.143066°		 ← 210.91 m → S 69.801724°
E 89.148560°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
S 69.803620°
E 89.143066°		 ← 210.89 m →
44 474 m²		 S 69.803620°
E 89.148560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747627258300781 y=0.774604797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747627258300781 × 216)
    floor (0.747627258300781 × 65536)
    floor (48996.5)     		tx = 48996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774604797363281 × 216)
    floor (0.774604797363281 × 65536)
    floor (50764.5)     		ty = 50764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48996 / 50764 ti = "16/48996/50764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48996/50764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48996 ÷ 216
    48996 ÷ 65536     		x = 0.74761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50764 ÷ 216
    50764 ÷ 65536     		y = 0.77459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74761962890625 × 2 - 1) × π
    0.4952392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55584001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.5491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72534489112506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55584001} λ = 1.55584001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72534489112506))-π/2
    2×atan(0.178111612064231)-π/2
    2×0.176263213541348-π/2
    0.352526427082696-1.57079632675     		φ = -1.21826990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55584001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21826990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.801724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48996 KachelY 50764 1.55584001 -1.21826990 89.143066 -69.801724
    Oben rechts KachelX + 1 48997 KachelY 50764 1.55593589 -1.21826990 89.148560 -69.801724
    Unten links KachelX 48996 KachelY + 1 50765 1.55584001 -1.21830300 89.143066 -69.803620
    Unten rechts KachelX + 1 48997 KachelY + 1 50765 1.55593589 -1.21830300 89.148560 -69.803620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21826990--1.21830300) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21826990--1.21830300) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55584001-1.55593589) × cos(-1.21826990) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345269966993875 × 6371000     		do = 210.908670337621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55584001-1.55593589) × cos(-1.21830300) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345238902341881 × 6371000     		du = 210.889694448975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21826990)-sin(-1.21830300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345269966993875-0.345238902341881)×R²
    abs(1.55593589-1.55584001)×3.10646519937618e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10646519937618e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10646519937618e-05×40589641000000     		ar = 44474.4406770485m²