Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48995 / 50523
↖ ↑ ↗
← S 69.339650°
E 89.137573°		 ← 215.50 m → S 69.339650°
E 89.143066°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 69.341588°
E 89.137573°		 ← 215.48 m →
46 432 m²		 S 69.341588°
E 89.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747611999511719 y=0.770927429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747611999511719 × 216)
    floor (0.747611999511719 × 65536)
    floor (48995.5)     		tx = 48995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770927429199219 × 216)
    floor (0.770927429199219 × 65536)
    floor (50523.5)     		ty = 50523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48995 / 50523 ti = "16/48995/50523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48995/50523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48995 ÷ 216
    48995 ÷ 65536     		x = 0.747604370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50523 ÷ 216
    50523 ÷ 65536     		y = 0.770919799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747604370117188 × 2 - 1) × π
    0.495208740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55574414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770919799804688 × 2 - 1) × π
    -0.541839599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70223930550819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55574414} λ = 1.55574414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70223930550819))-π/2
    2×atan(0.182274897521642)-π/2
    2×0.180295565030557-π/2
    0.360591130061115-1.57079632675     		φ = -1.21020520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55574414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.137573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21020520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.339650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48995 KachelY 50523 1.55574414 -1.21020520 89.137573 -69.339650
    Oben rechts KachelX + 1 48996 KachelY 50523 1.55584001 -1.21020520 89.143066 -69.339650
    Unten links KachelX 48995 KachelY + 1 50524 1.55574414 -1.21023902 89.137573 -69.341588
    Unten rechts KachelX + 1 48996 KachelY + 1 50524 1.55584001 -1.21023902 89.143066 -69.341588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21020520--1.21023902) × R
    3.38199999998512e-05 × 6371000     		dl = 215.467219999052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21020520--1.21023902) × R
    3.38199999998512e-05 × 6371000     		dr = 215.467219999052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55574414-1.55584001) × cos(-1.21020520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352827405384858 × 6371000     		do = 215.502664129899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55574414-1.55584001) × cos(-1.21023902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35279576020067 × 6371000     		du = 215.483335638417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21020520)-sin(-1.21023902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352827405384858-0.35279576020067)×R²
    abs(1.55584001-1.55574414)×3.16451841874676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16451841874676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16451841874676e-05×40589641000000     		ar = 46431.6776189834m²