Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48993 / 50521
↖ ↑ ↗
← S 69.335774°
E 89.126587°		 ← 215.56 m → S 69.335774°
E 89.132080°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
S 69.337712°
E 89.126587°		 ← 215.54 m →
46 459 m²		 S 69.337712°
E 89.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747581481933594 y=0.770896911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747581481933594 × 216)
    floor (0.747581481933594 × 65536)
    floor (48993.5)     		tx = 48993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770896911621094 × 216)
    floor (0.770896911621094 × 65536)
    floor (50521.5)     		ty = 50521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48993 / 50521 ti = "16/48993/50521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48993/50521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48993 ÷ 216
    48993 ÷ 65536     		x = 0.747573852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50521 ÷ 216
    50521 ÷ 65536     		y = 0.770889282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747573852539062 × 2 - 1) × π
    0.495147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55555239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770889282226562 × 2 - 1) × π
    -0.541778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70204755790971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55555239} λ = 1.55555239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70204755790971))-π/2
    2×atan(0.182309851646583)-π/2
    2×0.18032939496938-π/2
    0.360658789938761-1.57079632675     		φ = -1.21013754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55555239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.126587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21013754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.335774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48993 KachelY 50521 1.55555239 -1.21013754 89.126587 -69.335774
    Oben rechts KachelX + 1 48994 KachelY 50521 1.55564827 -1.21013754 89.132080 -69.335774
    Unten links KachelX 48993 KachelY + 1 50522 1.55555239 -1.21017137 89.126587 -69.337712
    Unten rechts KachelX + 1 48994 KachelY + 1 50522 1.55564827 -1.21017137 89.132080 -69.337712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21013754--1.21017137) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dl = 215.530930000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21013754--1.21017137) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dr = 215.530930000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55555239-1.55564827) × cos(-1.21013754) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.352890713255804 × 6371000     		do = 215.563814470921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55555239-1.55564827) × cos(-1.21017137) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.352859059522249 × 6371000     		du = 215.544478740932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21013754)-sin(-1.21017137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352890713255804-0.352859059522249)×R²
    abs(1.55564827-1.55555239)×3.16537335549594e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.16537335549594e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.16537335549594e-05×40589641000000     		ar = 46458.5856878802m²