Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48992 / 80289
↖ ↑ ↗
← S 37.511904°
W 45.439453°		 ← 242.27 m → S 37.511904°
W 45.436707°		 →
↑
242.29 m
↓
↑
242.29 m
↓
S 37.514083°
W 45.439453°		 ← 242.26 m →
58 699 m²		 S 37.514083°
W 45.436707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373783111572266 y=0.612560272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373783111572266 × 217)
    floor (0.373783111572266 × 131072)
    floor (48992.5)     		tx = 48992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612560272216797 × 217)
    floor (0.612560272216797 × 131072)
    floor (80289.5)     		ty = 80289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48992 / 80289 ti = "17/48992/80289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48992/80289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48992 ÷ 217
    48992 ÷ 131072     		x = 0.373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80289 ÷ 217
    80289 ÷ 131072     		y = 0.612556457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.25244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79306807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612556457519531 × 2 - 1) × π
    -0.225112915039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.707213080094688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79306807} λ = -0.79306807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707213080094688))-π/2
    2×atan(0.493016281517312)-π/2
    2×0.458045041970475-π/2
    0.91609008394095-1.57079632675     		φ = -0.65470624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79306807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65470624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.511904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48992 KachelY 80289 -0.79306807 -0.65470624 -45.439453 -37.511904
    Oben rechts KachelX + 1 48993 KachelY 80289 -0.79302013 -0.65470624 -45.436707 -37.511904
    Unten links KachelX 48992 KachelY + 1 80290 -0.79306807 -0.65474427 -45.439453 -37.514083
    Unten rechts KachelX + 1 48993 KachelY + 1 80290 -0.79302013 -0.65474427 -45.436707 -37.514083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65470624--0.65474427) × R
    3.80300000000222e-05 × 6371000     		dl = 242.289130000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65470624--0.65474427) × R
    3.80300000000222e-05 × 6371000     		dr = 242.289130000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79306807--0.79302013) × cos(-0.65470624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793226840500396 × 6371000     		do = 242.271894747536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79306807--0.79302013) × cos(-0.65474427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.79320368246145 × 6371000     		du = 242.264821686355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65470624)-sin(-0.65474427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793226840500396-0.79320368246145)×R²
    abs(-0.79302013--0.79306807)×2.31580389453701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31580389453701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31580389453701e-05×40589641000000     		ar = 58698.9897461174m²