Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48991 / 82499
↖ ↑ ↗
← S 42.169511°
W 45.442199°		 ← 226.32 m → S 42.169511°
W 45.439453°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
S 42.171546°
W 45.442199°		 ← 226.32 m →
51 216 m²		 S 42.171546°
W 45.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373775482177734 y=0.629421234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373775482177734 × 217)
    floor (0.373775482177734 × 131072)
    floor (48991.5)     		tx = 48991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629421234130859 × 217)
    floor (0.629421234130859 × 131072)
    floor (82499.5)     		ty = 82499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48991 / 82499 ti = "17/48991/82499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48991/82499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48991 ÷ 217
    48991 ÷ 131072     		x = 0.373771667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82499 ÷ 217
    82499 ÷ 131072     		y = 0.629417419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373771667480469 × 2 - 1) × π
    -0.252456665039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.79311600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629417419433594 × 2 - 1) × π
    -0.258834838867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.813153628255012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79311600} λ = -0.79311600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813153628255012))-π/2
    2×atan(0.443457359071534)-π/2
    2×0.417399760525549-π/2
    0.834799521051098-1.57079632675     		φ = -0.73599681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79311600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.442199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73599681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.169511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48991 KachelY 82499 -0.79311600 -0.73599681 -45.442199 -42.169511
    Oben rechts KachelX + 1 48992 KachelY 82499 -0.79306807 -0.73599681 -45.439453 -42.169511
    Unten links KachelX 48991 KachelY + 1 82500 -0.79311600 -0.73603233 -45.442199 -42.171546
    Unten rechts KachelX + 1 48992 KachelY + 1 82500 -0.79306807 -0.73603233 -45.439453 -42.171546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73599681--0.73603233) × R
    3.55200000000666e-05 × 6371000     		dl = 226.297920000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73599681--0.73603233) × R
    3.55200000000666e-05 × 6371000     		dr = 226.297920000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79311600--0.79306807) × cos(-0.73599681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741161936977735 × 6371000     		do = 226.322713634392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79311600--0.79306807) × cos(-0.73603233) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741138091000486 × 6371000     		du = 226.315431978372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73599681)-sin(-0.73603233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741161936977735-0.741138091000486)×R²
    abs(-0.79306807--0.79311600)×2.38459772485822e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38459772485822e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38459772485822e-05×40589641000000     		ar = 51215.5354378579m²