Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4899 / 3767
↖ ↑ ↗
← N 14.306969°
E 35.288086°		 ← 4 734.94 m → N 14.306969°
E 35.332031°		 →
↑
4 735.37 m
↓
↑
4 735.37 m
↓
N 14.264383°
E 35.288086°		 ← 4 735.84 m →
22 423 840 m²		 N 14.264383°
E 35.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59808349609375 y=0.45989990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59808349609375 × 213)
    floor (0.59808349609375 × 8192)
    floor (4899.5)     		tx = 4899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45989990234375 × 213)
    floor (0.45989990234375 × 8192)
    floor (3767.5)     		ty = 3767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4899 / 3767 ti = "13/4899/3767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4899/3767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4899 ÷ 213
    4899 ÷ 8192     		x = 0.5980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3767 ÷ 213
    3767 ÷ 8192     		y = 0.4598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5980224609375 × 2 - 1) × π
    0.196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61589329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4598388671875 × 2 - 1) × π
    0.080322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.252339839599976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61589329} λ = 0.61589329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.252339839599976))-π/2
    2×atan(1.287033347871)-π/2
    2×0.910250025253684-π/2
    1.82050005050737-1.57079632675     		φ = 0.24970372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61589329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.288086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24970372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.306969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4899 KachelY 3767 0.61589329 0.24970372 35.288086 14.306969
    Oben rechts KachelX + 1 4900 KachelY 3767 0.61666028 0.24970372 35.332031 14.306969
    Unten links KachelX 4899 KachelY + 1 3768 0.61589329 0.24896045 35.288086 14.264383
    Unten rechts KachelX + 1 4900 KachelY + 1 3768 0.61666028 0.24896045 35.332031 14.264383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24970372-0.24896045) × R
    0.00074326999999999 × 6371000     		dl = 4735.37316999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24970372-0.24896045) × R
    0.00074326999999999 × 6371000     		dr = 4735.37316999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61589329-0.61666028) × cos(0.24970372) × R
    0.000766989999999912 × 0.968985680028164 × 6371000     		do = 4734.94202356317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61589329-0.61666028) × cos(0.24896045) × R
    0.000766989999999912 × 0.969169086915728 × 6371000     		du = 4735.83824008859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24970372)-sin(0.24896045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968985680028164-0.969169086915728)×R²
    abs(0.61666028-0.61589329)×0.000183406887564019×R²
    0.000766989999999912×0.000183406887564019×6371000²
    0.000766989999999912×0.000183406887564019×40589641000000     		ar = 22423840.4120691m²