Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48988 / 50629
↖ ↑ ↗
← S 69.544119°
E 89.099121°		 ← 213.48 m → S 69.544119°
E 89.104614°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
S 69.546038°
E 89.099121°		 ← 213.46 m →
45 562 m²		 S 69.546038°
E 89.104614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747505187988281 y=0.772544860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747505187988281 × 216)
    floor (0.747505187988281 × 65536)
    floor (48988.5)     		tx = 48988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772544860839844 × 216)
    floor (0.772544860839844 × 65536)
    floor (50629.5)     		ty = 50629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48988 / 50629 ti = "16/48988/50629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48988/50629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48988 ÷ 216
    48988 ÷ 65536     		x = 0.74749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50629 ÷ 216
    50629 ÷ 65536     		y = 0.772537231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74749755859375 × 2 - 1) × π
    0.4949951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55507302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772537231445312 × 2 - 1) × π
    -0.545074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71240192822765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55507302} λ = 1.55507302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71240192822765))-π/2
    2×atan(0.18043188727777)-π/2
    2×0.178511239988194-π/2
    0.357022479976388-1.57079632675     		φ = -1.21377385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55507302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21377385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.544119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48988 KachelY 50629 1.55507302 -1.21377385 89.099121 -69.544119
    Oben rechts KachelX + 1 48989 KachelY 50629 1.55516890 -1.21377385 89.104614 -69.544119
    Unten links KachelX 48988 KachelY + 1 50630 1.55507302 -1.21380735 89.099121 -69.546038
    Unten rechts KachelX + 1 48989 KachelY + 1 50630 1.55516890 -1.21380735 89.104614 -69.546038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21377385--1.21380735) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21377385--1.21380735) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55507302-1.55516890) × cos(-1.21377385) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349486021314691 × 6371000     		do = 213.484053359251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55507302-1.55516890) × cos(-1.21380735) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.349454633575723 × 6371000     		du = 213.464880112448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21377385)-sin(-1.21380735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349486021314691-0.349454633575723)×R²
    abs(1.55516890-1.55507302)×3.13877389682693e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.13877389682693e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.13877389682693e-05×40589641000000     		ar = 45561.5352277195m²