Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48987 / 82005
↖ ↑ ↗
← S 41.155910°
W 45.453186°		 ← 229.96 m → S 41.155910°
W 45.450439°		 →
↑
229.93 m
↓
↑
229.93 m
↓
S 41.157978°
W 45.453186°		 ← 229.95 m →
52 874 m²		 S 41.157978°
W 45.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373744964599609 y=0.625652313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373744964599609 × 217)
    floor (0.373744964599609 × 131072)
    floor (48987.5)     		tx = 48987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625652313232422 × 217)
    floor (0.625652313232422 × 131072)
    floor (82005.5)     		ty = 82005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48987 / 82005 ti = "17/48987/82005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48987/82005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48987 ÷ 217
    48987 ÷ 131072     		x = 0.373741149902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82005 ÷ 217
    82005 ÷ 131072     		y = 0.625648498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373741149902344 × 2 - 1) × π
    -0.252517700195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.79330775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625648498535156 × 2 - 1) × π
    -0.251296997070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.789472799842705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79330775} λ = -0.79330775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789472799842705))-π/2
    2×atan(0.454084125411714)-π/2
    2×0.426245092269631-π/2
    0.852490184539262-1.57079632675     		φ = -0.71830614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79330775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.453186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71830614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.155910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48987 KachelY 82005 -0.79330775 -0.71830614 -45.453186 -41.155910
    Oben rechts KachelX + 1 48988 KachelY 82005 -0.79325981 -0.71830614 -45.450439 -41.155910
    Unten links KachelX 48987 KachelY + 1 82006 -0.79330775 -0.71834223 -45.453186 -41.157978
    Unten rechts KachelX + 1 48988 KachelY + 1 82006 -0.79325981 -0.71834223 -45.450439 -41.157978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71830614--0.71834223) × R
    3.60899999999331e-05 × 6371000     		dl = 229.929389999574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71830614--0.71834223) × R
    3.60899999999331e-05 × 6371000     		dr = 229.929389999574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79330775--0.79325981) × cos(-0.71830614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75292155540142 × 6371000     		do = 229.961623220279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79330775--0.79325981) × cos(-0.71834223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752897803711337 × 6371000     		du = 229.954368842759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71830614)-sin(-0.71834223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75292155540142-0.752897803711337)×R²
    abs(-0.79325981--0.79330775)×2.37516900826185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37516900826185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37516900826185e-05×40589641000000     		ar = 52874.101758861m²