Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48984 / 82478
↖ ↑ ↗
← S 42.126747°
W 45.461426°		 ← 226.48 m → S 42.126747°
W 45.458679°		 →
↑
226.55 m
↓
↑
226.55 m
↓
S 42.128785°
W 45.461426°		 ← 226.47 m →
51 308 m²		 S 42.128785°
W 45.458679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373722076416016 y=0.629261016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373722076416016 × 217)
    floor (0.373722076416016 × 131072)
    floor (48984.5)     		tx = 48984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629261016845703 × 217)
    floor (0.629261016845703 × 131072)
    floor (82478.5)     		ty = 82478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48984 / 82478 ti = "17/48984/82478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48984/82478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48984 ÷ 217
    48984 ÷ 131072     		x = 0.37371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82478 ÷ 217
    82478 ÷ 131072     		y = 0.629257202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.2525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79345156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629257202148438 × 2 - 1) × π
    -0.258514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.812146953362991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79345156} λ = -0.79345156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812146953362991))-π/2
    2×atan(0.4439040012346)-π/2
    2×0.417772941133685-π/2
    0.83554588226737-1.57079632675     		φ = -0.73525044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79345156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73525044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.126747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48984 KachelY 82478 -0.79345156 -0.73525044 -45.461426 -42.126747
    Oben rechts KachelX + 1 48985 KachelY 82478 -0.79340363 -0.73525044 -45.458679 -42.126747
    Unten links KachelX 48984 KachelY + 1 82479 -0.79345156 -0.73528600 -45.461426 -42.128785
    Unten rechts KachelX + 1 48985 KachelY + 1 82479 -0.79340363 -0.73528600 -45.458679 -42.128785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73525044--0.73528600) × R
    3.55600000000456e-05 × 6371000     		dl = 226.55276000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73525044--0.73528600) × R
    3.55600000000456e-05 × 6371000     		dr = 226.55276000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79345156--0.79340363) × cos(-0.73525044) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.741662788292942 × 6371000     		do = 226.475654608207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79345156--0.79340363) × cos(-0.73528600) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.741638935139036 × 6371000     		du = 226.468370760708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73525044)-sin(-0.73528600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741662788292942-0.741638935139036)×R²
    abs(-0.79340363--0.79345156)×2.38531539054065e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38531539054065e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38531539054065e-05×40589641000000     		ar = 51307.8595417715m²