Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48983 / 81977
↖ ↑ ↗
← S 41.097982°
W 45.464172°		 ← 230.16 m → S 41.097982°
W 45.461426°		 →
↑
230.12 m
↓
↑
230.12 m
↓
S 41.100051°
W 45.464172°		 ← 230.16 m →
52 965 m²		 S 41.100051°
W 45.461426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373714447021484 y=0.625438690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373714447021484 × 217)
    floor (0.373714447021484 × 131072)
    floor (48983.5)     		tx = 48983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625438690185547 × 217)
    floor (0.625438690185547 × 131072)
    floor (81977.5)     		ty = 81977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48983 / 81977 ti = "17/48983/81977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48983/81977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48983 ÷ 217
    48983 ÷ 131072     		x = 0.373710632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81977 ÷ 217
    81977 ÷ 131072     		y = 0.625434875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373710632324219 × 2 - 1) × π
    -0.252578735351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.79349950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625434875488281 × 2 - 1) × π
    -0.250869750976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.788130566653343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79349950} λ = -0.79349950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788130566653343))-π/2
    2×atan(0.454694021415368)-π/2
    2×0.426750613572969-π/2
    0.853501227145938-1.57079632675     		φ = -0.71729510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79349950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.464172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71729510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.097982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48983 KachelY 81977 -0.79349950 -0.71729510 -45.464172 -41.097982
    Oben rechts KachelX + 1 48984 KachelY 81977 -0.79345156 -0.71729510 -45.461426 -41.097982
    Unten links KachelX 48983 KachelY + 1 81978 -0.79349950 -0.71733122 -45.464172 -41.100051
    Unten rechts KachelX + 1 48984 KachelY + 1 81978 -0.79345156 -0.71733122 -45.461426 -41.100051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71729510--0.71733122) × R
    3.61200000000839e-05 × 6371000     		dl = 230.120520000534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71729510--0.71733122) × R
    3.61200000000839e-05 × 6371000     		dr = 230.120520000534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79349950--0.79345156) × cos(-0.71729510) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.753586546279581 × 6371000     		do = 230.164728551867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79349950--0.79345156) × cos(-0.71733122) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.75356280235285 × 6371000     		du = 230.157476545475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71729510)-sin(-0.71733122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753586546279581-0.75356280235285)×R²
    abs(-0.79345156--0.79349950)×2.37439267304351e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37439267304351e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37439267304351e-05×40589641000000     		ar = 52964.7926079932m²